Question

【題目】在學(xué)習(xí)三角形中位線的性質(zhì)時(shí)，小亮對(duì)課本給出的解決辦法進(jìn)行了認(rèn)真思考： 請(qǐng)你利用小亮的發(fā)現(xiàn)解決下列問(wèn)題：
（1）如圖1，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于E，且AE=EF，求證：AC=BF． 請(qǐng)你幫助小亮寫(xiě)出輔助線作法并完成論證過(guò)程：

（2）解決問(wèn)題：如圖2，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位線，過(guò)點(diǎn)D、E作DF∥EG，分別交BC于F、G，過(guò)點(diǎn)A作MN∥BC，分別與FE、GE的延長(zhǎng)線交于M、N，則四邊形MFGN周長(zhǎng)的最小值是 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使MD=FD，連接MC，

在△BDF和△CDM中， ，

∴△BDF≌△CDM（SAS）．

∴MC=BF，∠M=∠BFM．

∵EA=EF，

∴∠EAF=∠EFA，

∵∠AFE=∠BFM，

∴∠M=∠MAC，

∴AC=MC，

∴BF=AC

（2）10 +8
【解析】（2）解：如圖2，
∵M(jìn)N∥BC，F(xiàn)M∥GN，
∴四邊形MFGN是平行四邊形，
∴MF=NG，MN=FG，
∵DE是△ABC的中位線，
∴DE= BC=4，DE∥BC，
∴MN=FG= BC=4，
∴四邊形MFGN周長(zhǎng)=2（MF+FG）=2MF+8，
∴MF⊥BC時(shí)，MF最短，
即：四邊形MFGN的周長(zhǎng)最小，
過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，
∴FM=AH
在Rt△ABH中，∠B=45°，AB=10，
∴AH= =5 ，
∴四邊形MFGN的周長(zhǎng)最小為2MF+8=10 +8．
所以答案是：10 +8．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用三角形中位線定理的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．