Question

【題目】.如圖1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分線AF與BD、BC分別交于點E、F，點O是BD的中點，直線OK∥AF，交AD于點K，交BC于點G．

（1）求證：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；

（2）若KD=KG，BC=4﹣．

①求KD的長度；

②如圖2，點P是線段KD上的動點（不與點D、K重合），PM∥DG交KG于點M，PN∥KG交DG于點N，設PD=m，當S△PMN=時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①2，②1.

【解析】

試題分析：（1）①根據AAS可判定△DOK≌△BOG，②易證四邊形AFGK為平行四邊形，從而得到AK=FG，而AB=BF，所以AB+AK=BG；（2）①由（1）可知AB=BF，∴AF=KG=DK=BG=AB，AK=FG=AB-AB，再利用AK+DK=AD=BC可求得AB的長，DK長度可求出，②過點G作GI⊥KD，求得S△DKG的值，再根據四邊形PMGN是平行四邊形，以及△DKG∽△PKM∽△DPN，求得S△DPN和S△PKM的表達式，最后根據等量關系S平行四邊形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM，列出關于m的方程，求得m的值即可．

試題解析：（1）①∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=∠BGO.∵點O是BD的中點，∴DO=BO

∴△DOK≌△BOG（AAS）.②∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC

又∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠BFA=45°，∴AB=BF.∵OK∥AF，AK∥FG，∴四邊形AFGK是平行四邊形.∴AK=FG.

∵BG=BF+FG，∴BG=AB+AK；（2）①由（1）得，四邊形AFGK是平行四邊形.∴AK=FG，AF=KG，又∵△DOK≌△BOG，且KD=KG.∴AF=KG=KD=BG.設AB=a，則AF=KG=KD=BG=a.∴AK=FG=BG-BF=a-a，∵AK+DK=AD=BC，∴a-a+a=4-，解得a=.∴KD=a=2.②過點G作GI⊥KD于點I.由（2）①可知KD=AF=2，∴GI=AB=

∴S△DKG=×2×=.∵PD=m，∴PK=2﹣m.∵PM∥DG，PN∥KG，∴四邊形PMGN是平行四邊形，△DKG∽△PKM∽△DPN.∴，即S△DPN=（）2 .同理S△PKM=（）2 .∵S△PMN=.∴S平行四邊形PMGN=2S△PMN=2×=.又∵S平行四邊形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM.∴，即m2-2m+1=0，解得m1=m2=1.

∴當S△PMN=時，m的值為1.