Question

如圖，在坐標系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），拋物線的圖象過C點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）平移該拋物線的對稱軸所在直線l．當l移動到何處時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分？
（3）點P是拋物線上一動點，是否存在點P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）如答圖1所示，過點C作CD⊥x軸于點D，則∠CAD+∠ACD=90°。

∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD。
∵在△AOB與△CDA中，，
∴△AOB≌△CDA（ASA）。
∴CD=OA=1，AD=OB=2。
∴OD=OA+AD=3。
∴C（3，1）。
∵點C（3，1）在拋物線上，
∴，解得：。
∴拋物線的解析式為：。
（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=。
∴S_△ABC=AB²=。
設直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），
∴，解得。
∴直線BC的解析式為。
同理求得直線AC的解析式為：。
如答圖1所示，設直線l與BC、AC分別交于點E、F，
則。
在△CEF中，CE邊上的高h=OD﹣x=3﹣x．
由題意得：S_△CEF=S_△ABC，即： EF•h=S_△ABC。
∴，整理得：（3﹣x）²=3。
解得x=3﹣或x=3+（不合題意，舍去）。
∴當直線l解析式為x=3﹣時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分。
（3）存在。如答圖2所示，

過點C作CG⊥y軸于點G，則CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1。
過點A作AP∥BC，且AP=BC，連接BP，則四邊形PACB為平行四邊形。
過點P作PH⊥x軸于點H，
則易證△PAH≌△BCG。
∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH﹣OA=2。
∴P（﹣2，1）。
∵拋物線解析式為：，當x=﹣2時，y=1，即點P在拋物線上。
∴存在符合條件的點P，點P的坐標為（﹣2，1）．。

（1）首先構造全等三角形△AOB≌△CDA，求出點C的坐標；然后利用點C的坐標求出拋物線的解析式。
（2）首先求出直線BC與AC的解析式，設直線l與BC、AC交于點E、F，則可求出EF的表達式；根據(jù)S_△CEF=S_△ABC，列出方程求出直線l的解析式；
（3）首先作出?PACB，然后證明點P在拋物線上即可。