Question

【題目】在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=0.6，將△ABC繞點C順時針旋轉，得到△A1B1C．

（1）如圖1，當點B1在線段BA延長線上時．①求證：BB1∥CA1；②求△AB1C的面積；
（2）如圖2，點E是BC邊的中點，點F為線段AB上的動點，在△ABC繞點C順時針旋轉過程中，點F的對應點是F1 ， 求線段EF1長度的最大值與最小值的差．

Answer 1

【答案】
（1）①證明：∵AB=AC，B1C=BC，

∴∠BB1C=∠B，∠B=∠ACB，

∵∠A1CB1=∠ACB（旋轉角相等），

∴∠BB1C=∠A1CB1，

∴BB1∥CA1，

②過A作AF⊥BC于F，過C作CE⊥AB于E，

∵AB=AC，AF⊥BC，

∴BF=CF，

∵cos∠ABC=0.6，AB=5，

∴BF=3，

∴BC=6∴B1C=BC=6

∵CE⊥AB，

∴BE=B1E= ×6= ，

∴BB1= ，CE= ，

∴AB1= ，

∴△AB1C的面積為： =

（2）解：如圖3，

過C作CF⊥AB于F，以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1，EF1有最小值．

此時在Rt△BFC中，CF=4.8，

∴CF1=4.8，

∴EF1的最小值為4.8﹣3=1.8；

如圖，以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長線于F1'，EF1'有最大值．

此時EF1'的最大值為EC+CF1'=3+6=9，

∴線段EF1的最大值與最小值的差為9﹣1.8=7.2．

【解析】（1）①根據旋轉的性質和平行線的性質可證得BB1∥CA1；②過A作AF⊥BC于F，過C作CE⊥AB于E，根據等腰三角形的性質、解直角三角形及三角形的面積公式，即可求得答案。
（2）此題轉化到圓中求解，過C作CF⊥AB于F，以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1，可求得EF1的最小值，以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長線于F1'，求得EF1'的最大值，即可求得線段EF1的最大值與最小值的差。