Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，點E，F分別在AB，AC上，把∠A沿著EF對折，使點A落在BC上點D處，且使ED⊥BC．
（1）猜測AE與BE的數量關系，并說明理由；
（2）求證：四邊形AEDF是菱形．

Answer 1

（1）解：AE=BE．理由如下：
Rt△ABC中，∠A=60°，得∠B=30°．
則在Rt△BDE中有DE=BE．
由對折可知AE=DE，則AE=BE．

（2）證明：由∠C=90°，ED⊥BC得DE∥AC，
∴∠DFC=∠EDF=∠A=60°，
∴DF∥AE．
∴四邊形AEDF是平行四邊形．
又AE=ED，
∴平行四邊形AEDF是菱形．
分析：（1）在Rt△ABC中，由直角三角形的性質：兩銳角互余得∠B=30°，則在Rt△ADE中有DE=BEsin30°=BE，又由對折可知AE=DE，則AE=BE；
（2）易得DE∥AC，所以∠DFC=∠EDF=∠A=60°，所以DF∥AE．
由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形得，四邊形AEDF是平行四邊形．
又AE=ED，所以鄰邊相等的平行四邊形AEDF是菱形．
點評：本題利用了：1、折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；2、直角三角形的性質，平行線的性質，平行四邊形和菱形的判定求解．