Question

【題目】已知點F是等邊△ABC的邊BC延長線上一點，以CF為邊，作菱形CDEF，使菱形CDEF與等邊△ABC在BC的同側(cè)，且CD∥AB，連結(jié)BE．

（1）如圖①，若AB=10，EF=8，請計算△BEF的面積；
（2）如圖②，若點G是BE的中點，連接AG、DG、AD．試探究AG與DG的位置和數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

∵等邊△ABC，

∴BC=AB=10，∠ABC=60°，

∵AB∥CD，

菱形DCFE中，DC∥EF，

∴AB∥EF，

∴∠EFH=∠ABC=60°，

∵EH⊥CF

∴∠FEH=30°

∴FH= ，

∴EH= =4 ，

∵菱形CFED，EF=8，

∴CF=EF=8，

∴BF=BC+EF=18，

∴

（2）

解：AG⊥GD，AG= DG

理由如下：

如圖2，延長DG與BC交于M，連接AM，

∵四邊形CDEF是菱形，

∴DE=DC，DE∥CF，

∴∠GBM=∠GED，∠GMB=∠GDE，

∵G是BC的中點，

∴BG=EG，

在△BGH和△EGD中，

∴△BGM≌△EGD（AAS），

∴BM=ED=CD，MG=DG，

∵等邊△ABC中，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

又∵AB∥CD

∴∠DCF=∠ABC=60°，

∴∠ACD=180°﹣（∠ACB+∠DCF）=60°，

∴∠ABC=∠ACD，

在△ABH和△ACD中，

∵ ，

∴△ABM≌△ACD（SAS），

∴∠BAM=∠CAD，AM=AD，

∴∠MAD=∠BAC=60°

∵AD=AM，MG=DG，

∴△MAD是等邊三角形，

∴AG⊥MD，∠MAG=∠DAG=30°，

∴AG：DG= ，

∴AG= DG．

【解析】（1）如圖1，作高線EH，利用平行線的性質(zhì)得：∠FEH=30°，則FH= ，利用勾股定理求EH的長，利用三角形面積公式求面積即可；（2）如圖2，作輔助線，構建全等三角形，先證△BGM≌△EGD，則BM=ED=CD，MG=DG，再證明△ABM≌△ACD，則∠BAM=∠CAD，AM=AD，所以△MAD是等邊三角形，由三線合一可得結(jié)論．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行線的性質(zhì)和勾股定理的概念的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．