Question

（2006•淄博）已知關于x的二次函數y=x²-mx+與y=x²-mx-，這兩個二次函數的圖象中的一條與x軸交于A，B兩個不同的點．
（1）試判斷哪個二次函數的圖象經過A，B兩點；
（2）若A點坐標為（-1，0），試求B點坐標；
（3）在（2）的條件下，對于經過A，B兩點的二次函數，當x取何值時，y的值隨x值的增大而減小．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據二次函數的判別式，可以判斷函數的圖象與x軸交點情況；
（2）把A點坐標為（-1，0）代入函數解析式，求出m的值，令y=0，求出一元二次方程的解即可；
（3）根據二次函數的性質判斷其增減性；
解答：解：（1）對于關于x的二次函數y=x²-mx+，
由于△=（-m）²-4×1×=-m²-2＜0，
所以此函數的圖象與x軸沒有交點；
對于關于x的二次函數y=x²-mx-，
由于△=（-m）²-4×1×（-）=3m²+4＞0
所以此函數的圖象與x軸有兩個不同的交點．
故圖象經過A、B兩點的二次函數為y=x²-mx-；
（2）將A（-1，0）代入y=x²-mx-，得1+m-=0．
整理，得-m²+2m=0．
解之，得m=0，或m=2．
當m=0時，y=x²-1．
令y=0，得x²-1=0．
解這個方程，得x₁=-1，x₂=1，
此時，B點的坐標是B（1，0）；
當m=2時，y=x²-2x-3．
令y=0，得x²-2x-3=0．
解這個方程，得x₁=-1，x₂=3，
此時，B點的坐標是B（3，0）．
（3）當m=0時，二次函數為y=x²-1，此函數的圖象開口向上，對稱軸為直線x=0，
所以當x＜0時，函數值y隨x的增大而減小．
當m=2時，二次函數為y=x²-2x-3=（x-1）²-4，此函數的圖象開口向上，
對稱軸為直線x=1，所以當x＜1時，函數值y隨x的增大而減小．
點評：主要考查了二次函數的與x軸交點的求法，以及二次函數的增減性．