Question

已知：如圖，△ABC內接于⊙O，∠DBC=∠A
①求證：BD是⊙O的切線；
②若⊙O的半徑為4cm，∠CBD=45°，求BC的長．

Answer 1

分析：①如圖，連接OB、OC．欲證BD是⊙O的切線，只需證明OB⊥BD．
②結合①知△OBC是等腰直角三角形，所以根據勾股定理即可求得斜邊BC的長度．

解答：①證明：如圖，連接OB、OC．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
又∵∠BOC=2∠A，∠DBC=∠A，
∴∠BOC=2∠DBC，
∴∠BOC+∠OBC+∠OCB=2∠DBC+2∠OBC=180°，即∠OBC+∠DBC=90°，
∴∠OBD=90°，即OB⊥BD．
∵OB是⊙O的半徑，
∴BD是⊙O的切線；

②由①知，∠BOC=2∠DBC．
∵∠CBD=45°，
∴∠BOC=90°．
又∵OB=OC=4cm，
∴BC=

2

OB=4

2

cm．即BC的長為4

2

cm．

點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．