Question

（2013•鼓樓區一模）問題提出：
規定：四條邊對應相等，四個角對應相等的兩個四邊形全等．
我們借助學習“三角形全等的判定”獲得的經驗與方法對“全等四邊形的判定”進行探究．
初步思考：
在兩個四邊形中，我們把“一條邊對應相等”或“一個角對應相等”稱為一個條件．滿足4個條件的兩個四邊形不一定全等，如邊長相等的正方形與菱形就不一定全等．類似地，我們容易知道兩個四邊形全等至少需要5個條件．
深入探究：
小莉所在學習小組進行了研究，她們認為5個條件可分為以下四種類型：
Ⅰ一條邊和四個角對應相等；Ⅱ二條邊和三個角對應相等；
Ⅲ三條邊和二個角對應相等；Ⅳ四條邊和一個角對應相等．
（1）小明認為“Ⅰ一條邊和四個角對應相等”的兩個四邊形不一定全等，請你舉例說明．
（2）小紅認為“Ⅳ四條邊和一個角對應相等”的兩個四邊形全等，請你結合下圖進行證明．
已知：如圖，

四邊形ABCD和四邊形A₁B₁C₁D₁中，AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，DA=D₁A₁，∠B=∠B₁．

．
求證：

四邊形ABCD≌四邊形A₁B₁C₁D₁

．
證明：

（3）小剛認為還可以對“Ⅱ二條邊和三個角對應相等”進一步分類，他以四邊形ABCD和四邊形A₁B₁C₁D₁為例，分為以下幾類：
①AB=A₁B₁，AD=A₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁；
②AB=A₁B₁，AD=A₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，∠D=∠D₁；
③AB=A₁B₁，AD=A₁D₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁，∠D=∠D₁；
④AB=A₁B₁，CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁．
其中能判定四邊形ABCD和四邊形A₁B₁C₁D₁全等的是

①②③

（填序號），概括可得“全等四邊形的判定方法”，這個判定方法是

有一組鄰邊和三個角對應相等的兩個四邊形全等

．
（4）小亮經過思考認為也可以對“Ⅲ三條邊和二個角對應相等”進一步分類，請你仿照小剛的方法先進行分類，再概括得出一個全等四邊形的判定方法．

Answer 1

分析：（1）可以利用正方形與矩形進行說明；
（2）根據四條邊對應相等，和一個角對應相等，結合圖形即可寫出已知與求證．證明時可以連接AC、A₁ C₁，轉化為證明△ABC≌△A₁ B₁ C₁，和△AC D≌△A₁ B₁ C₁．即可征得；
（3）根據條件能證明△ABC≌△A₁ B₁ C₁，和△AC D≌△A₁ B₁ C₁，的條件．
（4）寫出三條邊對應相等，和二個角對應相等分情況進行討論即可．

解答：解：（1）如正方形與矩形有一條邊對應相等，但顯然不一定全等． 

（2）已知：如圖，四邊形ABCD和四邊形A₁ B₁ C₁ D₁中，AB=A₁ B₁，BC=B₁ C₁，CD=C₁ D₁，DA=D₁A₁，∠B=∠B₁．
求證：四邊形ABCD≌四邊形A₁ B₁ C₁ D₁．
證明：連接AC、A₁ C₁．
∵AB=A₁ B₁，∠B=∠B₁，BC=B₁ C₁，
∴△ABC≌△A₁ B₁ C₁．
∴AC=A₁ C₁，∠BAC=∠B₁ A₁ C₁，
∠BCA=∠B₁ C₁A₁．
又∵CD=C₁ D₁，DA=D₁A₁，
∴△AC D≌△A₁ B₁ C₁．
∴∠D=∠D₁．
∴∠BAD=∠B₁ A₁ D₁，∠BCD=∠B₁ C₁ D₁．
∴四邊形ABCD≌四邊形A₁ B₁ C₁ D₁

（3）①②③；   
有一組鄰邊和三個角對應相等的兩個四邊形全等．

（4）分為四類：
①AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁；
②AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠C=∠C₁；
③AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠D=∠D₁；
④AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁．
有三條邊和這三條邊中每一組鄰邊的夾角對應相等的兩個四邊形全等．

點評：本題考查了多邊形的全等，多邊形的全等可以通過作輔助線轉化為證明三角形全等問題．