Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx-8與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線l經過坐標原點O，與拋物線的一個交點為D，與拋物線的對稱軸交于點E，連接CE，已知點A，D的坐標分別為（-2，0），（6，-8）．

（1）求拋物線的函數表達式，并分別求出點B和點E的坐標；

（2）若點P是y軸負半軸上的一個動點，設其坐標為（0，m），直線PB與直線l交于點Q，試探究：當m為何值時，△OPQ是等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2－3x－8；B(8，0),E(3，－4)；(2)m的值為－或－.

【解析】

（1）根據待定系數法求出拋物線解析式即可求出點B坐標，求出直線OD解析式即可解決點E坐標；

（2）①如圖1中，當OP=OQ時，△OPQ是等腰三角形，過點E作直線ME∥PB，交y軸于點M，交x軸于點H，求出點M、H的坐標即可解決問題．②如圖2中，當QO=QP時，△POQ是等腰三角形，先證明CE∥PQ，根據平行線的性質列出方程即可解決問題．

（1）∵拋物線y＝ax2＋bx－8經過點A(－2，0)，D(6，－8)，

∴將A、D兩點的坐標代入得，

解得，

∴拋物線的函數表達式為y＝x2－3x－8；

（2）需分兩種情況進行討論：

①當OP＝OQ時，△OPQ是等腰三角形，如解圖①，

圖1

∵點E的坐標為(3，－4)，

∴OE＝＝5，

過點E作直線ME∥PB，交y軸于點M，交x軸于點H，

則＝，

∴OM＝OE＝5，

∴點M的坐標為(0，－5)，

設直線ME的函數表達式為y＝k1x－5，E（3，-4）在直線ME上，

∴3k1－5＝－4，解得k1＝，

∴直線ME的函數表達式為y＝x－5，

令y＝0，解得x＝15，

∴點H的坐標為(15，0)．

又∵MH∥PB，

∴＝，即，

∴m＝－；

②當QO＝QP時，△OPQ是等腰三角形，如圖，

∵當x＝0時，y＝x2－3x－8＝－8，

∴點C的坐標為(0，－8)，

∴CE＝＝5，

∴OE＝CE，

∴∠1＝∠2，

又∵QO＝QP，

∴∠1＝∠3，

∴∠2＝∠3，

∴CE∥PB.

設直線CE交x軸于點N，其函數表達式為y＝k2x－8，

E（3，-4）在直線CE上，

∴3k2－8＝－4，解得k2＝，

∴直線CE的函數表達式為y＝x－8，

令y＝0，得x－8＝0，

∴x＝6，

∴點N的坐標為(6，0)．

∵CN∥PB.

∴＝，

∴＝，解得m＝－.

綜上所述，當m的值為－或－時，△OPQ是等腰三角形．