Question

【題目】如圖，點E是矩形ABCD的對角線BD上的一點，且BE=BC，AB=3，BC=4，點P為直線EC上的一點，且PQ⊥BC于點Q，PR⊥BD于點R．

（1）①如圖1，當點P為線段EC中點時，易證：PR+PQ= （不需證明）．②如圖2，當點P為線段EC上的任意一點（不與點E、點C重合）時，其它條件不變，則①中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

（2）如圖3，當點P為線段EC延長線上的任意一點時，其它條件不變，則PR與PQ之間又具有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）成立，理由見解析；（2）PR﹣PQ=

【解析】

試題（1）②連接BP，過C點作CK⊥BD于點K．根據矩形的性質及勾股定理求出BD的長，根據三角形面積相等可求出CK的長，最后通過等量代換即可證明；

（2）圖3中的結論是PR﹣PQ=．

試題解析：解：（1）②圖2中結論PR+PQ=仍成立．

證明：連接BP，過C點作CK⊥BD于點K．

∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BCD=90°．又∵CD=AB=3，BC=4，∴BD===5．

∵S△BCD=BCCD=BDCK，∴3×4=5CK，∴CK=．

∵S△BCE=BECK，S△BEP=PRBE，S△BCP=PQBC，且S△BCE=S△BEP+S△BCP，∴BECK=PRBE+PQBC．又∵BE=BC，∴CK=PR+PQ，∴CK=PR+PQ．又∵CK=，∴PR+PQ=；

（2）過C作CF⊥BD交BD于F，作CM⊥PR交PR于M，連接BP，S△BPE﹣S△BCP=S△BEC，S△BEC是固定值，BE=BC為兩個底，PR，PQ 分別為高，圖3中的結論是PR﹣PQ=．