Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，M是斜邊BC的中點，BN⊥AM，垂足為點N，且BN的延長線交AC于點D．

（1）求證：△ABC∽△ADB；

（2）如果BC=20，BD=15，求AB的長度．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）12

【解析】

（1）根據直角三角形的性質和相似三角形的判定證明即可；

（2）根據相似三角形的性質解答即可．

（1）∵M是斜邊BC的中點，

∴AM=CM，∴∠MAC=∠C，

∵∠MAC+∠BAN=90°，∠ABD+∠BAN=90°，

∴∠MAC=∠ABD，

∴∠C=∠ABD，

∵∠BAC=∠DAB=90°，

∴△ABC∽△ADB；

（2）∵△ABC∽△ADB，

∴===，

設AC=4x，AB=3x，

可得：（4x）2+（3x）2=202，

解得：x=±4（負值舍去），

∴AB=3x=12．