Question

【題目】如圖,以矩形OABC的頂點O為原點,OA所在的直線為x軸,OC所在的直線為y軸,建立平面直角坐標系.已知OA=3,OC=2,點E是AB的中點,在OA上取一點D,將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處．

（1）直接寫出點E、F的坐標；

（2）設頂點為F的拋物線交y軸正半軸于點P,且以點E、F、P為頂點的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；

（3）在x軸、y軸上是否分別存在點M、N,使得四邊形MNFE的周長最小？如果存在,求出周長的最小值；如果不存在,請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）E(3，1),F(1，2);（2）；（3）存在，最小四邊形MNFE的周長最小值是5+．

【解析】分析：（1）△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處，可以知道四邊形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=2，則CF=3-2=1，因而E、F的坐標就可以求出．（2）頂點為F的坐標根據第一問可以求得是（1，2），因而拋物線的解析式可以設為y=a（x-1）2+2，以點E、F、P為頂點的三角形是等腰三角形，應分EF是腰和底邊兩種情況進行討論．

①當EF是腰，EF=PF時，已知E、F點的坐標可以求出EF的長，設P點的坐標是（0，n），根據勾股定理就可以求出n的值．得到P的坐標．當EF是腰，EF=EP時，可以判斷E到y軸的最短距離與EF的大小關系，只有當EF大于E到y軸的距離，P才存在．

②當EF是底邊時，EP=FP，根據勾股定理就可以得到關于n的方程，就可以解得n的值．

（3）作點E關于x軸的對稱點E′，作點F關于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M，N，則點M，N就是所求點．求出線段E′F′的長度，就是四邊形MNFE的周長的最小值．

本題解析：(1)E(3,1);F(1,2).

(2)在Rt△EBF中,∠B=90，∴EF=

設點P的坐標為(0,n)，其中n>0，∵頂點F(1,2)，

∴設拋物線解析式為y=a(x1) +2(a≠0).

①如圖1，

當EF=PF時, ，

∴.

解得 (舍去); .

∴P(0,4).

∴4=a(01) +2.

解得a=2.

∴拋物線的解析式為y=2(x1) +2

②如圖2，

當EP=FP時,EP=FP，∴(2n) +1=(1n) +9.解得n= (舍去)

③當EF=EP時,EP=<3，這種情況不存在。

綜上所述,符合條件的拋物線解析式是y=2(x1) +2.

(3)存在點M,N,使得四邊形MNFE的周長最小。

如圖3,作點E關于x軸的對稱點E′,作點F關于y軸的對稱點F′，

連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M，N，則點M，N就是所求點。

∴E′(3,1),F′(1,2),NF=NF′,ME=ME′.∴BF′=4,BE′=3.

∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′=.

又∵EF=，

∴FN+MN+ME+EF=5+,此時四邊形MNFE的周長最小值是5+.