Question

【題目】已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，且BD=CE，AD與BE相交于點(diǎn)F.

（1）求證：△ABD≌△BCE

（2）求證：

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】試題分析：

(1) 要證△ABD≌△BCE，利用△ABC是等邊三角形可以得到，AB=BC，∠ABC=∠BCA. 在這種情況下觀察圖形可知，在待證明的兩個(gè)三角形中已經(jīng)獲得一組對(duì)應(yīng)邊相等和一組對(duì)應(yīng)角相等，再根據(jù)已知條件BD=CE，根據(jù)SAS即可證明這兩個(gè)三角形全等.

(2) 觀察待證明的等式形式可知，AE應(yīng)為BE和EF的比例中項(xiàng). 將待證明的等式改寫為比例式后，利用“三點(diǎn)定形法”可以找到一組合適的相似三角形△EBA與△EAF. 觀察這兩個(gè)三角形發(fā)現(xiàn)：這兩個(gè)三角形有一組對(duì)應(yīng)角為公共角；對(duì)于另一組對(duì)應(yīng)角∠EBA與∠EAF而言，可以通過第(1)問中的全等三角形和△ABC的性質(zhì)證明其相等. 利用相似三角形的判定定理即可獲得這組三角形相似，進(jìn)而證明等式成立.

試題解析：

(1) ∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠BCA，即∠ABD=∠BCE，

∵在△ABD與△BCE中：

，

∴△ABD≌△BCE (SAS).

(2) ∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠BAC，

∵△ABD≌△BCE，

∴∠BAD=∠CBE，

∴∠ABC-∠CBE =∠BAC-∠BAD，

∴∠EBA=∠CAD，即∠EBA=∠EAF，

∵在△EBA與△EAF中：

∠AEB=∠FEA (公共角)，∠EBA=∠EAF，

∴△EBA∽△EAF，

∴，

即AE2=BE·EF.