Question

如圖，六邊形ABCDEF內接于半徑為r（常數）的⊙O，其中AD為直徑，且AB=CD=DE=FA.

（1）當∠BAD=75°時，求的長；

（2）求證：BC∥AD∥FE；

（3）設AB=，求六邊形ABCDEF的周長L關于的函數關系式，并指出為何值時，L取得最大值.

Answer 1

解：(1)連結OB．OC，由∠BAD=75°，OA=OB知∠AOB=30°，

∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=30°，∴∠BOC=120°，

故的長為．

(2)連結BD，∵AB=CD，∴∠ADB=∠CBD，∴BC∥AD，

同理EF∥AD，從而BC∥AD∥FE．

(3)過點B作BM⊥AD于M，由(2)知四邊形ABCD為等腰梯形，從而

BC=AD-2AM=2r-2AM．

∵AD為直徑，∴∠ABD=90°，易得△BAM∽△DAB

∴AM==，∴BC=2r-，同理EF=2r-

∴L=4x+2(2r-)==，其中0＜x＜

∴當x=r時，L取得最大值6r．