Question

（2007•紹興）如圖，在平面直角坐標系xOy中，O為原點，點A、C的坐標分別為（2，0）、（1，）．將△AOC繞AC的中點旋轉180°，點O落到點B的位置，拋物線y=ax²-2x經過點A，點D是該拋物線的頂點．
（1）求證：四邊形ABCO是平行四邊形；
（2）求a的值并說明點B在拋物線上；
（3）若點P是線段OA上一點，且∠APD=∠OAB，求點P的坐標；
（4）若點P是x軸上一點，以P、A、D為頂點作平行四邊形，該平行四邊形的另一頂點在y軸上，寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由旋轉的性質可知：△AOC≌△ABC，由此可得出四邊形AOCB的兩組對邊分別對應相等．由此可得證．
（2）由于拋物線過A點，因此可將A點的坐標代入拋物線的解析式中即可得出a的值和拋物線的解析式．
要判斷B是否在拋物線的解析式上，首先要求出B點的坐標，由于四邊形APCB是平行四邊形，OA=2，因此將C點向右平移2個單位即可得出B點的坐標，然后將B的坐標代入拋物線的解析式中即可判斷出B是否在拋物線上．
（3）先根據（2）的拋物線的解析式求出頂點D的坐標，然后求出OB、AD的長，當∠APD=∠OAB時，可得出△APD∽△OAB，進而可得出關于AP，AD、OA、OB的比例關系式．設出P點的坐標，然后用P的橫坐標表示出AP的長，即可根據上面的比例關系式求出P點的坐標．
（4）

分三種情況進行討論：
①如第一個圖：此時QD=AP=1，因此OP=OA-1=1，P點的坐標為（1，0）；
②如第二個圖：此時OP=OA+AP=3，P點的坐標為（3，0）；
③如第三個圖：此時D，Q兩點的縱坐標互為相反數，因此Q點的坐標為（0，），根據A，D的坐標可求出直線AD的解析式為y=x-2，由于QP∥AD，因此直線PQ的解析式為y=x+，可求得P點的坐標為（-1，0）．
因此共有3個符合條件的P點的坐標．
解答：（1）證明：∵△AOC繞AC的中點旋轉180°，
點O落到點B的位置，
∴△ACO≌△CAB．
∴AO=CB，CO=AB，
∴四邊形ABCO是平行四邊形．

（2）解：∵拋物線y=ax²-2x經過點A，
點A的坐標為（2，0），
∴，
解得：．
∴y=x²-2x．
∵四邊形ABCO是平行四邊形，
∴OA∥CB．
∵點C的坐標為（1，），
∴點B的坐標為（3，3）．
把x=3代入此函數解析式，得：y=×3²-2×3=3．
∴點B的坐標滿足此函數解析式，點B在此拋物線上．
∴頂點D的坐標為（1，-）．

（3）連接BO，
過點B作BE⊥x軸于點E，
過點D作DF⊥x軸于點F．
tan∠BOE=，tan∠DAF=，
∴tan∠BOE=tan∠DAF．
∴∠BOE=∠DAF．
∵∠APD=∠OAB，
∴△APD∽△OAB．
設點P的坐標為（x，0），
∴，
∴，
解得：x=．
∴點P的坐標為（，0）．

（4）P₁（1，0），P₂（-1，0），P₃（3，0）．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形旋轉變換、三角形相似、平行四邊形的判定等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．