Question

【題目】如圖，∠AOB＝45°，點(diǎn)M，N在邊OB上，OM＝x，ON＝x+4，點(diǎn)P是邊OA上的點(diǎn)，且△PMN是等腰三角形．在x>2的條件下，（1）當(dāng)x＝______時(shí)，符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)；（2）當(dāng)x＝______時(shí)，符合條件的點(diǎn)P恰好有三個(gè)．（兩個(gè)小題都只寫出一個(gè)數(shù)即可）

Answer 1

【答案】x>的數(shù)均可； 4<x<的數(shù)均可；

【解析】

（1）當(dāng)點(diǎn)M到OA的距離=MN時(shí)，符合題意的等腰三角形有兩個(gè)，此時(shí)點(diǎn)P就在垂足位置和或MN的垂直平分線與OA的交點(diǎn)處；所以當(dāng)點(diǎn)M到OA的距離>MN，符合題意的等腰三角形就只有一個(gè)，此時(shí)點(diǎn)P就是MN的垂直平分線與OA的交點(diǎn)；

（2）分三種情況討論：先確定特殊位置時(shí)成立的x值，
①如圖1，當(dāng)M與O重合時(shí)，即x=0時(shí)，點(diǎn)P恰好有三個(gè)；
②如圖2，構(gòu)建腰長為4的等腰直角△OMC，和半徑為4的⊙M，發(fā)現(xiàn)M在點(diǎn)D的位置時(shí)，滿足條件；
③如圖3，根據(jù)等腰三角形三種情況的畫法：分別以M、N為圓心，以MN為半徑畫弧，與OB的交點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)P，再以MN為底邊的等腰三角形，通過畫圖發(fā)現(xiàn)，無論x取何值，以MN為底邊的等腰三角形都存在一個(gè)，所以只要滿足以MN為腰的三角形有兩個(gè)即可．

解：（1）過點(diǎn)M作MC⊥OA于點(diǎn)C,

∵MN=ON-OM=(x+4)-x=4,

∴當(dāng)MC=MN=4時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)C位置可以構(gòu)成等腰三角形，此時(shí)MN=MP=4；點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線與OA的交點(diǎn)處，也可以構(gòu)成等腰三角形，此時(shí)PM=PN.即可以作兩個(gè)等腰三角形，此時(shí)OM= =.4 ，當(dāng)OM>4時(shí)，點(diǎn)M到OA的距離就會(huì)大于4，即MC>MN,在OA上就不存在點(diǎn)P，使PM=MN=4,，只有PM=PN，所以當(dāng)x>.4時(shí)，符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)；

（2）解：分三種情況：
①如圖1，當(dāng)M與O重合時(shí)，即x=0時(shí)，點(diǎn)P恰好有三個(gè)；

②如圖2，以M為圓心，以4為半徑畫圓，當(dāng)⊙M與OB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為C，⊙M與OA交于D，

∴MC⊥OB，
∵∠AOB=45°，
∴△MCO是等腰直角三角形，
∴MC=OC=4，
∴OM=4，
當(dāng)M與D重合時(shí)，即x=OM-DM=4-4時(shí)，同理可知：點(diǎn)P恰好有三個(gè)；
③如圖3，取OM=4，以M為圓心，以OM為半徑畫圓，

則⊙M與OB除了O外只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)x=4，即以∠PMN為頂角，MN為腰，符合條件的點(diǎn)P有一個(gè)，以N圓心，以MN為半徑畫圓，與直線OB相離，說明此時(shí)以∠PNM為頂角，以MN為腰，符合條件的點(diǎn)P不存在，還有一個(gè)是以NM為底邊的符合條件的點(diǎn)P；
點(diǎn)M沿OA運(yùn)動(dòng)，到M1時(shí)，發(fā)現(xiàn)⊙M1與直線OB有一個(gè)交點(diǎn)；
∴當(dāng)4＜x＜4

時(shí)，圓M在移動(dòng)過程中，則會(huì)與OB除了O外有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足點(diǎn)P恰好有三個(gè)；
綜上所述，若使點(diǎn)P，M，N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有三個(gè)，則x的值是：x=0或x=4-4或4＜x＜4．
故答案為：x=0或x=4-4或4＜x＜4中的任意一個(gè)數(shù)即可