Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm，P點(diǎn)在BC上，從B點(diǎn)到C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不包括 C點(diǎn)），點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)的速度為1cm/s；Q點(diǎn)在AC上從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)（不包括A點(diǎn)），速度為2cm/s，若點(diǎn) P、Q 分別從B、C 同時(shí)運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為t秒，請(qǐng)解答下面的問題，并寫出探索的主要過程．

（1）當(dāng) t 為何值時(shí)，P、Q 兩點(diǎn)的距離為 4cm？

（2）請(qǐng)用配方法說明，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，四邊形BPQA的面積最小？最小面積是多少？

Answer 1

【答案】(1) 2或;(2) 3秒，15cm2．

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理PC2+CQ2=PQ2，便可求出經(jīng)過2或s后，P、Q兩點(diǎn)的距離為4cm；（2）根據(jù)三角形的面積公式S△PCQ=×PC×CQ以及二次函數(shù)最值便可求出t=1.75s時(shí)△PCQ的面積最大，進(jìn)而求出四邊形BPQA的面積最小值．

：（1）∵在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=10cm，
設(shè)經(jīng)過ts后，P、Q兩點(diǎn)的距離為4cm，
ts后，PC=6-t cm，CQ=2t cm，
根據(jù)勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2，
代入數(shù)據(jù)（6-t）2+（2t）2=（4）2；
解得t=2或t=，
故t為2或時(shí)，P、Q兩點(diǎn)的距離為4cm；

（2）設(shè)經(jīng)過ts后，△PCQ的面積最大，則此時(shí)四邊形BPQA的面積最小，
ts后，PC=6-tcm，CQ=2t cm，
S△PCQ=×PC×CQ=×（6-t）×2t=-t2+6t
當(dāng)t=-時(shí)，即t=3s時(shí)，△PCQ的面積最大，
即S△PCQ=

×PC×CQ=×（6-3）×6=9（cm2），
∴四邊形BPQA的面積最小值為：S△ABC-S△PCQ最大=×6×8-9=15（cm2），
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，四邊形BPQA的面積最小為：15cm2．