Question

有如圖所示的五種塑料薄板（厚度不計）：①兩直角邊分別為3、4的直角三角形ABC；
②腰長為4、頂角為36°的等腰三角形JKL；
③腰長為5、頂角為120°的等腰三角形OMN；
④兩對角線和一邊長都是4且另三邊長相等的凸四邊形PQRS；
⑤長為4且寬（小于長）與長的比是黃金分割比的黃金矩形WXYZ．
它們都不能折疊，現在將它們一一穿過一個內、外徑分別為2.4、2.7的鐵圓環．
我們規定：如果塑料板能穿過鐵環內圈，則稱為此板“可操作”；否則，便稱為“不可操作”．
（1）證明：第④種塑料板“可操作”；求：從這五種塑料板中任意取兩種至少有一種“不可操作”的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意可知四邊形PQRS必然是等腰梯形，不妨設QS=PR=SR=4，PQ=PS=RQ=x，分別過點S、Q作QR、RS的垂線，垂足為I、F，則由△QRF∽△RSI可求得RS的值，從而根據勾股定理可求得SI的值，將其與2.4比較，若小于2.4則可操作，否則不可操作．
（2）分別作直角三角形ABC斜邊BC上的高AH、等腰三角形JKL的腰JL上的高KE、等腰三角形OMN底邊上的高MG，易求得：AH與MG的值，對各種情況進行分析，從而不難求得其不可操作的概率．

解答：解：（1）由題意可知四邊形PQRS必然是等腰梯形，（2分）不妨設QS=PR=RS=4，PQ=PS=RQ=x，分別過點S、Q作QR、RS的垂線，垂足為I、F，則由△QRF∽△RSI得到

RI

RF

=

RS

QR

，
即

4-x 2

x 2

=

x

4

解得x=2

5

-2．
∴SI=

RS2-IR2

=

x2-( 4-x 2 )2

=

10-2 5

＜2.4，
∴第④種塑料板“可操作”．（5分）
（2）分別作直角三角形ABC斜邊BC上的高AH、等腰三角形JKL的腰JL上的高KE、等腰三角形OMN底邊上的高MG，易求得：AH=2.4，MG=2.5．（2分）
又由（1）可得等腰梯形PQRS的銳角底角是72°，△JKL≌△PQR，∴KE=SI．
而黃金矩形WXYZ的寬等于4×

5 -1

2

=2

5

-2＞2.4，（4分）
∴第①②④三種塑料板“可操作”；而第③⑤兩種塑料板“不可操作”．
∴從這五種塑料板中任意取兩種至少有一種“不可操作”的概率P=

7

10

．（3分）

點評：此題主要考查學生對等腰梯形的性質，相似三角形的應用及概率公式的綜合運用能力．