Question

【題目】如果一條直線把矩形分割成兩個矩形，其中一個為黃金矩形 （寬與長的比為的矩形），則稱這條直線為該矩形的黃金線．例如圖所示的矩形中，直線，分別交、于點、，且，顯然直線是矩形的黃金線．

（1）如圖，在矩形中，，．請在圖中畫出矩形的其中一條黃金線，其中在邊上，在邊上，并標注出線段的長度；

（2）將正方形紙片按圖所示的方式折疊．

如圖所示，按上述方法折疊所得到的折痕是否為正方形的黃金線？請說明理由．

（3）在矩形中，，，己知矩形的黃金線恰好將矩形分割成兩個黃金矩形，則______（只要求直接寫出其中三個答案）．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析，（2）是，理由見解析；（3），，，，，．

【解析】

（1）根據矩形黃金線的定義可算出AM=和，從而可畫出已知矩形的黃金線；

（2）連結，設，，由折疊得，由△CGE的面積兩種求法列出方程，求得，從而求得，即是正方形的黃金線；

（3）分類討論，根據點E的不同位置，不同邊的比得到不同a的值．

（1）∵

∴ ,

如圖所示，

此時，

（2）折痕是正方形的黃金線．理由如下：

如圖，連結，設，，由折疊得，

在中，，

，

又，∴．解得：．

即．∴．

∴是正方形的黃金線．

（3）①當，時，EF把矩形ABCD分割成兩個黃金矩形，則

∵AB=1，AD=a

∴，

∴

∴；

②當，時，EF把矩形ABCD分割成兩個黃金矩形，則

∵AB=1，AD=a

∴，

∴

∴；

③當，時，EF把矩形ABCD分割成兩個黃金矩形，則

∵AB=1，AD=a

∴，

∴

∴；

④當，時，EF把矩形ABCD分割成兩個黃金矩形，則

，

，，

解得，；

⑤，時，EF把矩形ABCD分割成兩個黃金矩形，則

，解得，；

⑥當，時，EF把矩形ABCD分割成兩個黃金矩形，則

，

，解得，；

⑦當，時，EF把矩形ABCD分割成兩個黃金矩形，則

，，

，解得，；

⑧當，時，EF把矩形ABCD分割成兩個黃金矩形，則

，

，解得，

故答案為：，，，，，