Question

【題目】（1）如圖1，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和BD，相交于點E，連接BC．求∠AEB的大小；

（2）如圖2，△OAB固定不動，保持△OCD的形狀和大小不變，將△OCD繞點O旋轉（△OAB和△OCD不能重疊），求∠AEB的大小．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）60°

【解析】試題分析：（1），由△DOC和△ABO都是等邊三角形，且點O是線段AD的中點，可得OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，∠4=∠5，從而利用外角的性質可得∠AEB=∠4+∠6=∠4+∠5=∠2=60°；

（2）由△DOC和△ABO都是等邊三角形，且點O是線段AD的中點，可得OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，∠4=∠5，∠6=∠7，根據三角形內角和可得∠5=∠6，從而利用外角的性質可得∠AEB=∠2+∠6﹣∠5=∠2+∠5﹣∠5=∠2.

解：（1）如圖3，

∵△DOC和△ABO都是等邊三角形，

且點O是線段AD的中點，

∴OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，

∴∠4=∠5．

又∵∠4+∠5=∠2=60°，

∴∠4=30°．

同理∠6=30°．

∵∠AEB=∠4+∠6，

∴∠AEB=60°．

（2）如圖4，

∵△DOC和△ABO都是等邊三角形，

∴OD=OC，OB=OA，∠1=∠2=60°．

∴OD=OB，OA=OC，

∴∠4=∠5，∠6=∠7．

∵∠DOB=∠1+∠3，

∠AOC=∠2+∠3，

∴∠DOB=∠AOC．

∵∠4+∠5+∠DOB=180°，∠6+∠7+∠AOC=180°，

∴2∠5=2∠6，

∴∠5=∠6．

又∵∠AEB=∠8﹣∠5，∠8=∠2+∠6，

∴∠AEB=∠2+∠6﹣∠5=∠2+∠5﹣∠5=∠2，

∴∠AEB=60°．