Question

Rt△ABC與Rt△FED是兩塊全等的含30°、60°角的三角板，按如圖（一）所示拼在一起，CB與DE重合．
（1）求證：四邊形ABFC為平行四邊形；
（2）取BC中點O，將△ABC繞點O順時鐘方向旋轉到如圖（二）中△A′B′C′位置，直線B'C'與AB、CF分別相交于P、Q兩點，猜想OQ、OP長度的大小關系，并證明你的猜想；
（3）在（2）的條件下，指出當旋轉角至少為多少度時，四邊形PCQB為菱形？（不要求證明）

Answer 1

（1）證明：∵△ABC≌△FCB，（1分）
∴AB=CF，AC=BF．（2分）
∴四邊形ABFC為平行四邊形．（3分）
（用其它判定方法也可）

（2）OP=OQ，（4分）
理由如下：∵OC=OB，∠COQ=∠BOP，∠OCQ=∠PBO，
∴△COQ≌△BOP．（6分）
∴OQ=OP．（7分）
（用平行四邊形對稱性證明也可）

（3）90°．
理由：∵OP=OQ，OC=OB，
∴四邊形PCQB為平行四邊形，
∵BC⊥PQ，
∴四邊形PCQB為菱形．（8分）