Question

二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(

1

2

，

25

4

)，它與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-2，0），另一個(gè)交點(diǎn)的是C，它與y 軸相交于D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．試問(wèn)：y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△POB∽△DOC？若存在，試求出過(guò)P、B 兩點(diǎn)的直線的解析式；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：先根據(jù)條件利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后根據(jù)解析式求出點(diǎn)D，點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)P、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法就可以求出直線PB的解析式．

解答：解：∵二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(

1

2

，

25

4

)，它與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-2，0），
∴設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x-

1

2

)2+

25

4

將點(diǎn)B（-2，0）代入得，
0=a(-2-

1

2

)2+

25

4

，解得
a=-1
∴拋物線的解析式為：y=-x²+x+6．
當(dāng)x=0時(shí)，y=6
∴D（0，6），
∴OD=6
y=0時(shí)，x₁=-2，x₂=3
C（3，0），
∴OC=3，
∵B（-2，0），
∴OB=2．
∵△POB∽△DOC，
∴

PO

OB

=

DO

OC

，
∴

PO

2

=

6

3

∴PO=4
∴P（0，4）或P（0，-4），
設(shè)直線PB的解析式為：y=kx+b，
∴

0=-2k+b 4=b

或

0=-2k+b -4=b

，解得：

k=2 b=4

或

k=-2 b=-4

求得直線PB的解析式為：y=2x+4或y=-2x-4．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定及性質(zhì)．