Question

【題目】如右圖，為等腰的外接圓，直徑，為弧上任意一點（不與，重合），直線交延長線于點，在點處切線交于點，下列結論正確的是 ．（寫出所有正確結論的序號）

①若，則弧的長為； ②若，則平分；

③若，則； ④無論點在弧上的位置如何變化，為定值．

Answer 1

【答案】②③④．

【解析】

試題解析：如圖，連接OP，

∵AO=OP，∠PAB=30°，

∴∠POB=60°，

∵AB=12，

∴OB=6，

∴弧的長為=2π，故①錯誤；

∵PD是⊙O的切線，

∴OP⊥PD，

∵PD∥BC，

∴OP⊥BC，

∴，

∴∠PAC=∠PAB，

∴AP平分∠CAB，故②正確；

若PB=BD，則∠BPD=∠BDP，

∵OP⊥PD，

∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，

∴∠BOP=∠BPO，

∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等邊三角形，

∴PD=OP=6，故③正確；

∵AC=BC，

∴∠BAC=∠ABC，

又∵∠ABC=∠APC，

∴∠APC=BAC，

又∵∠ACP=∠QCA，

∴△ACP∽△QCA，

∴，即CPCQ=CA2（定值），故④正確；

故答案為：②③④．