Question

如圖，已知拋物線y=x²+4x+3交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求拋物線的對稱軸及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）在平面直角坐標(biāo)系xoy中是否存在點(diǎn)P，與A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形？若存在，請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）連接CA與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)D，在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得直線CM把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分？若存在，請求出直線CM的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c的對稱軸為x=-

b

2a

，求得拋物線的對稱軸，因?yàn)楹瘮?shù)與X軸的交點(diǎn)是y=0，列方程即可求得；
（2）分別以AC，AB為對角線各可求得一點(diǎn)，再以AC，AB為邊求得一點(diǎn)；
（3）首先可求得梯形DEOC的面積，根據(jù)題意：在OE上找點(diǎn)F，使OF=

4

3

，此時(shí)S_△COF=

1

2

×

4

3

×3=2，直線CF把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分，交拋物線于點(diǎn)M，設(shè)直線CM的解析式為y=kx+3，它經(jīng)過點(diǎn)F（-

4

3

，0），則-

4

3

k+3=0（11分）解之，得k=

9

4

∴直線CM的解析式為y=

9

4

x+3．

解答：解：（1）①對稱軸x=-

4

2

=-2；
②當(dāng)y=0時(shí)，有x²+4x+3=0，
解之，得x₁=-1，x₂=-3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0）．

（2）滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè)，分別為（-2，3），（2，3），（-4，-3）．

（3）存在．
當(dāng)x=0時(shí)，y=x²+4x+3=3
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∵DE∥y軸，AO=3，EO=2，AE=1，CO=3，
∴△AED∽△AOC
∴

AE

AO

=

DE

CO

即

1

3

=

DE

3

，
∴DE=1．
∴S_梯形DEOC=

1

2

（1+3）×2=4，
在OE上找點(diǎn)F，使OF=

4

3

，
此時(shí)S_△COF=

1

2

×

4

3

×3=2，直線CF把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分，交拋物線于點(diǎn)M．
設(shè)直線CM的解析式為y=kx+3，它經(jīng)過點(diǎn)F（-

4

3

，0）．
則-

4

3

k+3=0，（11分）
解之，得k=

9

4

，
∴直線CM的解析式為y=

9

4

x+3．

點(diǎn)評：此題屬于中考中的壓軸題，難度較大，知識點(diǎn)考查的較多而且聯(lián)系密切，需要學(xué)生認(rèn)真審題．此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)，四邊形的綜合知識，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．