Question

（本小題滿分9分）

如圖，已知二次函數的圖象與x軸相交于點A、C，與y軸交于點B，A（，0），且△AOB～△BOC。

（1）求C點坐標、∠ABC的度數及二次函數的關系式；

（2）在線段AC上是否存在點M（m，0），使得以線段BM為直徑的圓與邊BC交于P點（與點B不同），且以點P、C、O為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由

 

Answer 1

 

（1）y＝－

（2）m的值為或－1.

解析:解：（1）由題意，得B（0，3）

          ∵△AOB∽△BOC，

          ∴∠OAB＝∠OBC，.

          ∴.

          ∴OC＝4，  ∴C（4，0）.

          ∵∠OAB+∠OBA＝90°，

          ∴∠OBC+∠OBA＝90°.

          ∴∠ABC＝90°.

 ∵y＝圖象經過點A（－，0），C（4，0），

          ∴

          ∴y＝－.

（2）①如圖1，當CP＝CO時，點P在以BM為直徑的圓上，因為BM為圓的直徑.

      ∴∠BPM＝90°，   ∴PM∥AB

      ∴△CPM∽△CBA.

      ∴，得CM＝5.

      ∴m＝－1.

 ②如圖2，當PC＝PO時，點P在OC垂直平分線上，得PC＝2.5.

      由△CPM∽△CBA，得CM＝.

      ∴m＝4－.

   ③當OC＝OP時，M點不在線段AC上.

    綜上所述，m的值為或－1.