Question

王師傅有兩塊板材邊角料，其中一塊是邊長(zhǎng)為60cm的正方形板子；另一塊是上底為30cm，下底為120cm，高為60cm的直角梯形板子（如圖①），王師傅想將這兩塊板子裁成兩塊全等的矩形板材，他將兩塊板子疊放在一起，使梯形的兩個(gè)直角頂點(diǎn)分別與正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)重合，兩塊板子的重疊部分為五邊形ABCFE圍成的區(qū)域（如圖②），由于受材料紋理的限制，要求裁出的矩形要以點(diǎn)B為一個(gè)頂點(diǎn)。

（1）求FC的長(zhǎng)；
（2）利用圖②求出矩形頂點(diǎn)B所對(duì)的頂點(diǎn)到BC邊的距離x（cm）為多少時(shí)，矩形的面積y（cm²）最大？最大面積是多少？
（3）若想使裁出的矩形為正方形，試求出面積最大的正方形的邊長(zhǎng)。

Answer 1

解：（1）由題意，得△DEF∽△CGF，
∴，
∴，
∴FC=40（cm）；
（2）如圖，設(shè)矩形頂點(diǎn)B所對(duì)頂點(diǎn)為P，則
①當(dāng)頂點(diǎn)P在AE上時(shí)，x=60，
y的最大值為60×30=1800（cm²）
②當(dāng)頂點(diǎn)P在EF上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P分別作PN⊥BG于點(diǎn)N，PM⊥AB于點(diǎn)M，
根據(jù)題意，得△GFC∽△GPN，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)x=40時(shí)，y的最大值為2400（cm²）；
③當(dāng)頂點(diǎn)P在FC上時(shí)，y的最大值為60×4=2400（cm²）；
綜合①②③，得x=40cm時(shí)，矩形的面積最大，最大面積為2400cm²；
（3）根據(jù)題意，正方形的面積y（cm²）與邊長(zhǎng)x（cm）滿足的函數(shù)表達(dá)式為：
，
當(dāng)y=x²時(shí)，正方形的面積最大，
∴，
解之，得，
∴面積最大得正方形得邊長(zhǎng)為48cm。