Question

（2013•工業園區模擬）如圖，⊙O的半徑長為5，OC垂直弦AB于點C，OC的延長線交⊙O于點E，與過點B的⊙O的切線交于點F，已知CE=x．
（l）若x=2，求AB、BF的長；
（2）求EF•CO²的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用切線的性質以及勾股定理得出AB的長，進而利用△BOC∽△OBF，得出即可；
（2）首先得出△BCO∽△FCB，進而用x表示出FC的長，即可利用二次函數最值求法得出即可．

解答：解：（1）EC=2，則CO=5-2=3，
∵CO⊥AB，
∴AB=2CB，在Rt△BCO中，BO=5，
∴BC=

OB2-OC2

=

52-32

=4，
∴AB=8，
∵BF為⊙O的切線，
∴OB⊥BF，在△BOC和△OBF中
∵∠OCB=∠FBO=90°，∠BOC=∠BOF，
∴△BOC∽△OBF，
∴

OC

BO

=

BC

BF

，
∴

3

5

=

4

BF

，
解得：BF=

20

3

；

（2）∵∠CBF+∠OBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠CBF=∠BOC，又∠BCF=∠BCO=90°，
∴△BCO∽△FCB，
∴

BC

OC

=

FC

BC

，
∴BC²=OC×FC，
∵OC=5-x，OB=5，
∴BC²=BO²-CO²=25-（5-x）²，
∴25-（5-x）²=CO×FC=（5-x）×FC，
∴FC=

10x-x2

5-x

，
∴EF×CO²=（FC-EC）×CO²
=（

10x-x2

5-x

-x）（5-x）²
=5x（5-x）
=5[-（x-

5

2

）²+

25

4

]
=-5（x-

5

2

）²+

125

4

，
∴EF×CO²的最大值為

125

4

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及切線的性質等知識，根據已知得出△BCO∽△FCB，進而表示出FC的長是解題關鍵．