Question

【題目】已知四邊形的對角線，，、、、分別是、、、的中點，則的值是_______．

Answer 1

【答案】118

【解析】

先根據、、、分別是、、、的中點得到四邊形PQRS是平行四邊形，再根據平行四邊形的對角線的平方與四條邊邊長的平方的關系即可得到答案．

∵、、、分別是、、、的中點，

∴=（中位線的性質），

同理可得:=

并且有 PS∥BD，PS=BD（中位線的性質），

同理可得：QR∥BD，QR=，

∴PS∥QR，（等量替換），

∴四邊形PQRS是平行四邊形，

∴=+（平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊長的平方和，后附證明過程）

=

=27+32+27+32

=118．

附：四邊形ABCD是平行四邊形，則=+

證明： 如圖，作垂直于E，作垂直于的延長線，交于點F.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，AB=DC，AD=BC，

∴DE=CF（兩平行線間的距離相等），

∴Rt△AED≌Rt△BFC（HL）

∴AE=BF，

根據勾股定理得：

,

,

,

=

=

∵（勾股定理）

∴=+（等量替換）．