Question

【改編】（本小題滿分10分）
數形結合作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數解形”；或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間的某種關系，即“以形助數”。                                                           如浙教版九上課本第109頁作業題第2題：如圖1，已知在△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，D為垂足。易證得兩個結論：(1)AC·BC = AB·CD   (2)AC2= AD·AB
（1）請你用數形結合的“以數解形”思想來解：如圖2，已知在△ABC中（AC>BC），∠ACB=900，CD⊥AB，D為垂足， CM平分∠ACB,且BC、AC是方程x2-14x+48=0的兩個根，求AD、MD的長。
（2）請你用數形結合的“以形助數”思想來解：設a、b、c、d都是正數，滿足a：b=c：d,且a最大。求證：a+d>b+c（提示：不訪設AB=a,CD=d,AC=b,BC=c，構造圖1）

Answer 1

解：（1）顯然，方程x2-14x+48=0的兩根為6和8，     1分
又AC>BC
∴AC=8，BC=6
由勾股定理AB=10
△ACD∽△ABC，得AC2= AD·AB
∴AD="6.4     " -------------------------------2分
∵CM平分∠ACB
∴AM：MB=AC：CB
解得，AM=---------------------------------     1分
∴MD=AD-AM=-----------------------------1分
（2）解：不訪設AB=a,CD=d,AC=b,BC=c
由三角形面積公式，得AB·CD=AC·BC
2AB·CD=2AC·BC          -------------------------1分
又勾股定理，得AB2=AC2+BC2
∴AB2+2AB·CD =AC2+BC2+2AC·BC(等式性質)
∴AB2+2AB·CD =（AC+BC）2----------------------1分
∴AB2+2AB·CD+CD2 >（AC+BC）2--------------------2分
∴(AB+CD) 2 >（AC+BC）2
又AB、CD、AC、BC均大于零
∴AB+CD>AC+BC即a+d>b+c--------------------1分

解析