Question

（2013•鳳陽縣模擬）如圖所示，在正方形ABCD的對角線上取點E，使得∠BAE=15°，連結AE，CE．延長CE到F，連結BF，使得BC=BF．若AB=1，則下列結論：①AE=CE；②F到BC的距離為

2

2

；③BE+EC=EF；④S△AED=

1

4

+

2

8

；⑤S△EBF=

3

12

．其中正確的是

①③⑤

．

Answer 1

分析：根據正方形的性質得出AB=BC，∠ABD=∠CBD=45，利用SAS證明△ABE≌△CBE，即可判斷①正確；過F作FH⊥BC于H，先求出∠FBH=30°，再根據直角三角形的性質求出FH，即可判斷②錯誤；在EF上取一點N，使BN=BE，由∠BEN=60°，得出△NBE為等邊三角形，再利用ASA證明△FBN≌△CBE，得出NF=EC，從而判斷③正確；過A作AM⊥BD交于M，根據勾股定理求出BD，解直角△ADM與直角△AEM，求出AM、DM與EM的值，根據三角形的面積公式求出S_△AED=

1

2

DE×AM=

1

4

+

3

12

，即可判斷④錯誤；根據S_△EBF=S_△FBC-S_△EBC及S_△CBE=S_△ABE=S_△ABM-S_△AEM，求出S_△EBF=

3

12

，進而判斷⑤正確．

解答：解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，
∴①正確；
②過F作FH⊥BC于H．
∵△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE=15°．
∵BF=BC=1，
∴∠BFC=∠FCB=15°，
∴∠FBH=∠BFC+∠FCB=30°，
∴FH=

1

2

BF=

1

2

，
∴②錯誤；
③在EF上取一點N，使BN=BE，
又∵∠BEN=∠EBC+∠ECB=45°+15°=60°，
∴△NBE為等邊三角形，
∴∠ENB=60°，
又∵∠NFB=15°，
∴∠NBF=45°，
又∵∠EBC=45°，
∴∠NBF=∠EBC，
又∵BF=BC，∠NFB=∠ECB=15°，
∴△FBN≌△CBE，
∴NF=EC，
故BE+EC=EN+NF=EF，
∴③正確；
④過A作AM⊥BD交于M．
在直角△ABM中，∵∠BAD=90°，AB=AD=1，
∴BD=

2

，
在直角△ADM中，∵∠AMD=90°，∠ADM=45°，AD=1，
∴DM=AM=

2

2

，
在直角△AEM中，∵∠AME=90°，∠AEM=60°，AM=

2

2

，
∴EM=

AM

3

=

6

6

，
∴S_△AED=

1

2

DE×AM=

1

2

（

2

2

+

6

6

）×

2

2

=

1

4

+

3

12

，
∴④錯誤；
⑤∵BD=

2

，AM=DM=

2

2

，EM=

6

6

，
∴BM=BD-DM=

2

-

2

2

=

2

2

，BM-EM=

2

2

-

6

6

，
∴S_△ABE=S_△ABM-S_△AEM=

1

2

BM•AM-

1

2

EM•AM=

1

2

AM（BM-EM）=

1

2

×

2

2

×（

2

2

-

6

6

）=

1

4

-

3

12

．
∵△ABE≌△CBE，
∴S_△ABE=S_△CBE=

1

4

-

3

12

，
∴S_△EBF=S_△FBC-S_△EBC=

1

2

×1×

1

2

-（

1

4

-

3

12

）=

3

12

，
∴⑤正確．
故答案為①③⑤．

點評：本題是四邊形的綜合題，主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的面積，解直角三角形等知識，綜合性較強，有一定難度．準確作出輔助線是解題的關鍵．