Question

【題目】已知二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），與y軸的交點坐標為（0，3）．
（1）求出b、c的值，并寫出此二次函數的解析式；
（2）根據圖象，直接寫出函數值y為正數時，自變量x的取值范圍；
（3）當2≤x≤4時，求y的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把（﹣1，0），（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，

得

解得 ，

所以二次函數的解析式為：y=﹣x2+2x+3

（2）解：把x=0代入y=﹣x2+bx+c中，

得﹣x2+bx+c=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

所以當﹣1＜x＜3，y＞0

（3）解：由y=﹣x2+2x+3

=﹣（x﹣1）2+4，

拋物線的對稱軸為直線x=1，

則當2≤x≤4時，y隨著x的增大而減小，

∴當x=2時，y的最大值是3

【解析】（1）因為點（﹣1，0），（0，3）在拋物線y=﹣x2+bx+c上，可代入確定b、c的值；（2）求出拋物線與x軸的交點坐標，根據圖象確定y＞0時，x的取值范圍；（3）根據二次函數的增減性，確定2≤x≤4時，y的最大值．
【考點精析】掌握二次函數的圖象和二次函數的最值是解答本題的根本，需要知道二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．