Question

如圖，點(diǎn)B在線段AC上，點(diǎn)D，E在AC同側(cè)，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．

（1）求證：AC=AD+CE；
（2）若AD=3，CE=5，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點(diǎn)Q；
（i）當(dāng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合時(shí)，求的值；
（ii）當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，求線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑（線段）長．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）

Answer 1

解：（1）證明：如圖，∵BD⊥BE，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°。
∵∠C=90°，∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°。∴∠1=∠E。
∵在△ABD和△CEB中，∠1=∠E，∠A=∠C=90°，AD=BC，
∴△ABD≌△CEB（AAS）。∴AB=CE。
∴AC=AB+BC=AD+CE。
（2）（i）如圖，連接DQ，

∵∠DPQ=∠DBQ="90°,"
∴D、P、B、Q四點(diǎn)在以DQ為直徑的圓上。
∴∠DQP=∠DBP。
∴Rt△DPQ∽Rt△DAB。∴。
∵DA=3，AB=EC=5，∴。
（ii）線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑（線段）長為。

（1）根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角邊”證明△ABD和△CEB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=CE，然后根據(jù)AC=AB+BC整理即可得證。
（2）（i）如圖，連接DQ，由∠DPQ=∠DBQ=90°得到D、P、B、Q四點(diǎn)在以DQ為直徑的圓上，從而可得Rt△DPQ∽Rt△DAB，因此。
（ii）線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑（線段）就是△BDQ的中位線MN。
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至AC中點(diǎn)時(shí)，AP=4，

∴在Rt△ADP中，根據(jù)勾股定理得：DP=5。
由得。
∴在Rt△DPQ中，根據(jù)勾股定理得：。
又在Rt△ADP中，根據(jù)勾股定理得：。
∵M(jìn)N是△BDQ的中位線，
∴。
∴在Rt△DMN中，根據(jù)勾股定理得：。
∴線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑（線段）長為。