Question

如圖所示,,,,點是以為直徑的半圓上一動點,交直線于點,設.
(1)當時,求弧BD的長；
(2)當時,求線段的長；
(3)若要使點在線段的延長線上,則的取值范圍是_________.(直接寫出答案)

Answer 1

(1) 的長為： π；
（2）BE=；
（3）60°＜α＜90°．

試題分析：（1）首先連接OD，由圓周角定理，可求得∠DOB的度數，又由⊙O的直徑為2，即可求得其半徑，然后由弧長公式，即可求得答案；
（2）首先證得△ACD∽△BED，然后由相似三角形的對應邊成比例，可得，繼而求得答案；
（3）首先求得A與E重合時α的度數，則可求得點E在線段BA的延長線上時，α的取值范圍．
試題解析：（1）連接OD，

∵α=18°，
∴∠DOB=2α=36°，
∵AB=2，
∴⊙O的半徑為：，
∴的長為：=π；
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵α=30°，
∴∠B=60°，
∵AC⊥AB，DE⊥CD，
∴∠CAB=∠CDE=90°，
∴∠CAD=90°﹣α=60°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠CDA+∠ADE=∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠CDA=∠BDE，
∴△ACD∽△BED，
∴，
∵AB=2，α=30°，
∴BD=AB=，
∴AD==3，
∴，
∴BE=；
經檢驗，BE=是原分式方程的解．
（3）如圖，當E與A重合時，

∵AB是直徑，AD⊥CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴C，D，B共線，
∵AC⊥AB，
∴在Rt△ABC中，AB=2，AC=2，
∴tan∠ABC==，
∴∠ABC=30°，
∴α=∠DAB=90°﹣∠ABC=60°，
當E′在BA的延長線上時，如圖，可得∠D′AB＞∠DAB＞60°，
∵0°＜α＜90°，
∴α的取值范圍是：60°＜α＜90°．
故答案為：60°＜α＜90°．