Question

設一組數據是x₁，x₂，…，x_n，它們的平均數是

.

x

，方差s2=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]．
（Ⅰ）證明：方差也可表示為s2=

1

n

(

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n

)-

.

x

 2；并且s²≥0，當x₁=x₂=…=x_n=

.

x

時，方差s²取最小值0；
（Ⅱ）求滿足方程x2+(y-1)2+(x-y)2=

1

3

的一切實數對（x，y）．

Answer 1

分析：（1）根據方差的定義的公式展開，進行整理得出命題的正確性；
（2）結合方差s²=

1

3

[x²+（y-1）²+（x-y）²]-（

.

a

）²=

1

9

-（-

1

3

）²，當且僅當-x=y-1=x-y=

.

a

=-

1

3

時，求出即可．

解答：解：（1）∵s2=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]，
=

1

n

[x₁²+(

.

x

) 2-2x₁

.

x

+x₂²+(

.

x

) 2-2x2

.

x

+…+x_n²+(

.

x

) 2-2x_n

.

x

]，
=

1

n

（x₁²+x₂²+…+x_n²）+

1

n

（(

.

x

) 2+(

.

x

) 2+…+(

.

x

) 2）+

1

n

（-2x₁

.

x

-2x2

.

x

-…-2x_n

.

x

]，
=

1

n

（x₁²+x₂²+…+x_n²）+(

.

x

) 2+

1

n

（-2x₁

.

x

-2x2

.

x

-…-2x_n

.

x

]，
=

1

n

（x₁²+x₂²+…+x_n²）+(

.

x

) 2-2

.

x

1

n

（x₁+x₂+…+x_n]，
=

1

n

（x₁²+x₂²+…+x_n²）-(

.

x

) 2，
∴s2=

1

n

(

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n

)-

.

x

 2；
當x₁=x₂=…=x_n=

.

x

時，
s²=(

.

x

) 2-(

.

x

) 2=0，
∴此時方差s²取最小值0；

（2）設數據-x，（y-1），x-y的平均數為：

.

a

=

1

3

[（-x）+（y-1）+（x-y）]，
=-

1

3

，
方差s²=

1

3

[x²+（y-1）²+（x-y）²]-（

.

a

）²=

1

9

-（-

1

3

）²，
當且僅當-x=y-1=x-y=

.

a

=-

1

3

時，
s²=0，
此時x=

1

3

，y=

2

3

．

點評：此題主要考查了方差公式的證明以及綜合應用，正確的將公式變形是解決問題的關鍵．