Question

善于不斷改進學習方法的小迪發現，對解題進行回顧反思，學習效果更好．某一天小迪有20分鐘時間可用于學習．假設小迪用于解題的時間x（單位：分鐘）與學習收益量y的關系如圖1所示，用于回顧反思的時間x（單位：分鐘）與學習收益y的關系如圖2所示（其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點），且用于回顧反思的時間不超過用于解題的時間．
（1）求小迪解題的學習收益量y與用于解題的時間x之間的函數關系式；
（2）求小迪回顧反思的學習收益量y與用于回顧反思的時間x的函數關系式；
（3）問小迪如何分配解題和回顧反思的時間，才能使這20分鐘的學習收益總量最
大？

Answer 1

（1）由圖1，設y=kx（k≠0）．當x=1時，y=2，
解得k=2
∴y=2x（0≤x≤20）

（2）中的收益量y與反思時間x的函數關系必須分段：
由圖2，當0≤x＜4時，設y=a（x-4）²+16（a≠0），
由已知，當x=0時，y=0
∴0=16a+16，
∴a=-1
∴y=-（x-4）²+16即y=-x²+8x
當4≤x≤10時，y=16．
因此，當0≤x＜4時，y=-（x-4）²+16；
當4≤x≤10時，y=16．

（3）設小迪用于回顧反思的時間為x（0≤x≤10）分鐘，學習收益總量為y，
則她用于解題的時間為（20-x）分鐘．
當0≤x＜4時，y=-x²+8x+2（20-x）=-（x-3）²+49
∵a=-1＜0
∴函數有最大值，
當x=3時，有最大值49；
當4≤x≤10時，y=16+2（20-x）=56-2x，y隨x的增大而減小，
因此當x=4時，有最大值48．
綜合以上，當x=3時，有最大值49，此時20-x=17．
即小迪用于回顧反思的時間為3分鐘，用于解題的時間為17分鐘時，學習的總收益量最大．