Question

【題目】如圖，已知為兩條相互平行的直線，之間一點，和的角平分線相交于，.

(1)求證：；

(2)連結當且時，求的度數；

(3)若時，將線段沿直線 方向平移,記平移后的線段為（，分別對應、當時，請直接寫出的度數_______.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據平行線的性質得到∠EDF=∠DAB，根據角平分線 的定義得到∠EDF=∠ADC，根據平行線的判定定理即可得到結論；
（2）設∠DCF=α，則∠CFB=1.5α，根據平行線的性質得到∠ABF=∠CFB=1.5α，根據角平分線的定義得到∠ABC=2∠ABF=3α，根據平行線的性質即可得到結論；
（3）根據已知條件得到四邊形BCDF是平行四邊形，得到∠CDF=∠CBF，根據角平分線的定義得到∠ABC=2∠CBF，∠CDE=2∠CDF，求得∠DCB=120°，根據平行的性質得到BC∥PQ，根據四邊形的內角和列方程即可得到結論．

（1）∵AB∥DE，
∴∠EDF=∠DAB，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDF=∠ADC，
∴∠ADC=∠DAB，
∵∠FDC+∠ABC=180°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥BC；
（2）∵∠CFB=∠DCF，
∴設∠DCF=α，則∠CFB=1.5α，
∵CF∥AB，
∴∠ABF=∠CFB=1.5α，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABF=3α，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵∠FDC+∠ABC=180°，
∴∠BCD=∠ABC=3α，
∴∠BCF=2α，
∵CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF=180°，
∴3α+2α=180°，
∴α=36°，
∴∠BCD=3×36°=108°；
（3）如圖，

∵∠DCF=∠CFB，
∴BF∥CD，
∵AD∥BC，
∴四邊形BCDF是平行四邊形，
∴∠CDF=∠CBF，
∵AD，BE分別平分∠ABC，∠CDE，
∴∠ABC=2∠CBF，∠CDE=2∠CDF，
∴∠ABC=2∠CDF，
∵∠FDC+∠ABC=180°，
∴∠ABC=120°，∠CDF=60°，
∴∠DCB=120°，
∴∠ABC=120°，
∴∠DAB=60°，
∵線段BC沿直線AB方向平移得到線段PQ，
∴BC∥PQ，
∴∠APQ=120°，
∵∠PQD-∠QDC=20°，
∴∠QDC=∠PQD-20°，
∴∠FDC+∠CDQ+∠PQD+∠APQ+∠DAB=60°+∠PQD-20°+∠PQD+120°+60°=360°，
∴∠PQD=70°．
故答案為：70°．