Question

如圖，已知直線y=x與二次函數y=x²+bx+c的圖象交于點A、O，（O是坐標原點），點P為二次函數圖象的頂點，OA=，AP的中點為B．
（1）求二次函數的解析式；
（2）求線段OB的長；
（3）若射線OB上存在點Q，使得△AOQ與△AOP相似，求點Q的坐標．

Answer 1

解：（1）∵點A在直線y=x上，且OA=3，
∴A點的坐標是（3，3，）
∵點O（0，0），A（3，3）在函數y=x²+bx+c的圖象上，
∴，
解得：，
故二次函數的解析式是y=x²-2x；

（2）∵y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴頂點P的坐標為（1，-1）
∴PO==，AP=2，
∴AO²+PO²=AP²，
∴∠AOP=90°，
∴△AOP是直角三角形，
∵B為AP的中點，
∴OB=；

（3）∵∠AOP=90°，B為AP的中點，
∴OB=AB，
∴∠AOB=∠OAB，
若△AOQ與△AOP相似，
則①△AOP∽△OQA時，
∴，
∴OQ₁=；
②△AOP∽△OAQ時，
∴，
∴OQ₂=2，
∵B點的坐標為（2，1），
∴Q₁（，），Q₂（4，2）
即點Q的坐標分別是Q₁（，），Q₂（4，2）．
分析：（1）由點A在直線y=x上，可知A的橫縱坐標相等，又因為OA=3，所以可以求出A的坐標，再把O和A的坐標代入y=x²+bx+c，求出b和c的值即可求出函數的解析式；
（2）用配方法求出頂點P的坐標，再利用勾股定理求出OP的長和AP的長，利用勾股定理的逆定理即可判定三角形AOP的形狀，進而求出OB的長；
（3）若△AOQ與△AOP相似，則①△AOP∽△OQA或②△AOP∽△OAQ，根據相似三角形的性質得到比例式，求出滿足題意的OQ值即可．
點評：本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式、二次函數的頂點坐標、勾股定理以及逆定理的運用以及相似三角形的判定和性質，解題時也要注意分類討論數學思想的運用，題目的綜合性很強，難度中等．