Question

我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)：反比例函數(shù)的圖象是一個中心對稱圖形．你可以利用這一結(jié)論解決問題．如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)的圖象可以看作是：將x軸所在的直線繞著原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)α度角后的圖形．若它與反比例函數(shù)y=

3

x

的圖象分別交于第一、三象限的點(diǎn)B，D，已知點(diǎn)A（-m，O）、C（m，0）．
（1）直接判斷并填寫：不論α取何值，四邊形ABCD的形狀一定是______；
（2）①當(dāng)點(diǎn)B為（p，1）時，四邊形ABCD是矩形，試求p，α，和m的值；
②觀察猜想：對①中的m值，能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有幾個？（不必說理）
（3）試探究：四邊形ABCD能不能是菱形？若能，直接寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能，說明理由．

Answer 1

（1）平行四邊形（3分）

（2）①∵點(diǎn)B（p，1）在y=

3

x

的圖象上，
∴1=

3

p

，
∴p=

3

．（4分）
過B作BE⊥x軸于E，則OE=

3

，BE=1
在Rt△BOE中，tanα=

BE

OE

=

1

3

=

3

3

α=30°，（5分）
∴OB=2．
又∵點(diǎn)B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)B、D關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱，（6分）
∴OB=OD=2．
∵四邊形ABCD為矩形，且A（-m，0），C（m，0）
∴OA=OB=OC=OD=2（7分）
∴m=2；（8分）
②能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有2個；（9分）

（3）四邊形ABCD不能是菱形．理由如下：（10分）
若四邊形ABCD為菱形，則對角線AC⊥BD，且AC與BD互相平分，
因?yàn)辄c(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-m，0）、（m，0），
所以點(diǎn)A、C關(guān)于原點(diǎn)O對稱，且AC在x軸上，（11分）
所以BD應(yīng)在y軸上，
這與“點(diǎn)B、D分別在第一、三象限”矛盾，
所以四邊形ABCD不可能為菱形．（12分）