Question

如圖，△ABC是銳角三角形，以BC為直徑作⊙O，AD是⊙O的切線，從AB上一點E作AB的垂線交AC的延長線于F，若

AB

AF

=

AE

AC

．
求證：AD=AE．

Answer 1

分析：連接BN，根據BC為⊙O的直徑，求證△ABN∽△AFE利用其對應邊成比例得AE²=AN•AC，再利用切割線定理得出AD²=AN•AC，然后利用等量代換即可．

解答：證明：如圖，設AC交⊙O于點N．連接BN，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BNC=90°，
∴∠BNA=90°，
∵FE⊥AB，
∴∠AEF=90°=∠BNA，
∠BNA=∠FAE，
∴△ABN∽△AFE，
∴

AB

AF

=

AN

AE

，
∵

AB

AF

=

AE

AC

，
∴

AN

AE

=

AE

AC

，即AE²=AN•AC，
∵AD切⊙O于D，ANC為割線，
AD²=AN•AC，
即AD=AE．

點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質和切割線定理的理解和掌握，證明此題的關鍵是作好輔助線：連接BN，求證出AE²=AN•AC，和AD²=AN•AC，這是此題的突破點．此題有一定難度，屬于難題．