Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點A(－3，4)、B(－3，0)、C(－1，0) .以D為頂點的拋物線y = ax2+bx+c過點B. 動點P從點D出發，沿DC邊向點C運動，同時動點Q從點B出發，沿BA邊向點A運動，點P、Q運動的速度均為每秒1個單位，運動的時間為t秒. 過點P作PE⊥CD交BD于點E，過點E作EF⊥AD于點F，交拋物線于點G.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當t為何值時，四邊形BDGQ的面積最大？最大值為多少？

（3）動點P、Q運動過程中，在矩形ABCD內（包括其邊界）是否存在點H，使以B，Q，E，H為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出此時菱形的周長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=－x2－2x＋3（2）當t =2時，四邊形BDGQ的面積最大，最大值為2（3）存在， 或80－32

【解析】試題分析：（1）根據矩形的性質可以寫出點D得到坐標；由頂點D的坐標可設該拋物線的頂點式方程為y=a（x+1）2+4，然后將點B的坐標代入，即可求得系數a的值（利用待定系數法求拋物線的解析式）。（2）利用三角形相似△DPE∽△DBC可以求得點E的橫坐標，再求出AF的長，將其代入拋物線求出點G的橫坐標；然后結合拋物線方程、圖形與坐標變換可以求得GE=最后根據三角形的面積公式可以求得，S四邊形BDGQ= S△BQG＋S△BEG＋S△DEG，由二次函數的最值可以解得t=2時，S△ACG的最大值為2;（3）因為菱形是鄰邊相等的平行四邊形，所以點H在直線EF上。分CE是邊和對角線兩種情況討論即可。

試題解析：

（1） 由題意得，頂點D點的坐標為（－1，4）.

設拋物線的解析式為y=a (x＋1) 2＋4（a≠0），

∵拋物線經過點B(－3，0)，代入y=a (x＋1) 2＋4

可求得a=－1

∴拋物線的解析式為y=－ (x＋1) 2＋4

即y=－x2－2x＋3.

（2）由題意知，DP=BQ = t，

∵PE∥BC，

∴△DPE∽△DBC.

∴=2，

∴PE=DP= t.

∴點E的橫坐標為－1－t，AF=2－t.

將x =－1－t代入y=－ (x＋1) 2＋4，得y=－t2＋4.

∴點G的縱坐標為－t2＋4，

∴GE=t2＋4－（4－t）=－t2＋t.

連接BG，S四邊形BDGQ= S△BQG＋S△BEG＋S△DEG，

即S四邊形BDGQ=BQ·AF＋EG·（AF＋DF）

=t（2－t）－t2＋t.

=－t2＋2t=－ (t－2)2＋2.

∴當t =2時，四邊形BDGQ的面積最大，最大值為2.

（3）存在，

菱形BQEH的周長為或80－32.