Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點B（2，0）和點C（0，8），且它的對稱軸是直線x=-2．
（1）求拋物線與x軸的另一交點A的坐標；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）連接AC，BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A，點B）不重合，過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式；
（4）在（3）的基礎上試說明S是否存在最大值？若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）知道對稱軸了和x軸上另一點，就能求出該點．
（2）知道兩點坐標和對稱軸就能求出拋物線的解析式．
（3）依題意，AE=m，則BE=8-m，由題意可知△BEF∽△BAC，求出EF，過點F作FG⊥AB，垂是為G，則sin∠FEG=sin∠CAB，進而求出FG，由S=S_△BCE-S_△BFE，進而求得S與m之間的函數關系式．
（4）由S與m之間的函數關系式，求得S的最大值，算出點E坐標，判斷三角形的形狀．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是直線x=-2，
∴由對稱性可得A點的坐標為（-6，0）；

（2）∵點C（0，8）在拋物線y=ax²+bx+c的圖象上
∴c=8．
將A（-6，0），B（2，0）代入表達式得

0=36a-6b+8 0=4a+2b+8

，
解得

a=- 2 3 b=- 8 3

．
故所求解析式為y=-

2

3

x²-

8

3

x+8．

（3）依題意，AE=m，則BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，
∴AC=10，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴

EF

AC

=

BE

AB

，即EF=

40-5m

4

，
過點F作FG⊥AB，垂是為G，則sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

，
∴

FG

EF

=

4

5

，
∴FG=

4

5

×

40-5m

4

=8-m，
∴S=S_△BCE-S_△BFE．
=

1

2

（8-m）×8-

1

2

（8-m）（8-m），
=-

1

2

m²+4m，

（4）存在．理由如下：
∵S=-

1

2

m²+4m=-

1

2

（m-4）²+8且-

1

2

＜0，
∴當m=4時，S有最大值，S最大值=8，
∵m=4，
∴點E的坐標為（-2，0），
∴△BCE為等腰三角形．

點評：本題是二次函數的綜合題，涉及到求拋物線的表達式和求最值等知識點，題不是很難，但要注意細節．