Question

【題目】（1）如圖1，D是等邊三角形△ABC的邊BA上任意一點（D與A、B不重合），連接DC，以DC為邊在BC邊上方作等邊三角形△DCE，連接AE，∠ABC與∠EAC有怎樣數量關系直接寫出結論

（2）如圖2，D是等邊三角形△ABC邊BA延長線上一點，連接DC，以DC為邊在BC邊上方作等邊三角形△DCE，連接AE，求證：∠ABC=∠EAC；

（3）如圖3，D是等邊三角形△ABC邊AB延長線上一點，連接DC，以DC為邊在BC邊上方作等邊三角形△DCE，連接AE，探究∠ABC與∠EAC的數量關系，直接寫出結論

Answer 1

【答案】（1）∠ABC=∠EAC；（2）證明見解析；（3）∠ABC +∠EAC=180°或∠EAC=2∠ABC

【解析】試題分析：（1）根據等邊三角形的性質得到CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，利用SAS可證明△BCD≌△ACE，繼而得出結論；（2）同（1）的方法判斷出△BCD≌△ACE即可；（3）同（1）的方法判斷出△BCD≌△ACE即可.

試題解析：

（1）∠ABC=∠EAC，

∵△ABC、△CDE是等邊三角形，

∴CB=CA，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=∠ACE，

∵在△BCD和△ACE中，

∴△BCD≌△ACE(SAS)，

∴∠ABC=∠EAC；

故答案為：∠ABC=∠EAC；

（2）證明：∵△ABC和△DCE均為等邊三角形

∴CB=CA，CD=CE，∠ACB=∠DCE =60°，

∴∠ACB+∠DCA=∠DCE+∠DCA，

即∠DCB=∠ECA，

在△DCB和△ECA中，

∴ △DCB≌△EAC，

∴ ∠ABC=∠EAC；

（3） ∠ABC +∠EAC=180°或 ∠EAC=2∠ABC

③∵△ABC、△CDE是等邊三角形，

∴∠ACB=∠DCE=∠ABC=60°，

∴∠ACE=∠BCD，

在△BCD和△ACE中， ，

∴△BCD≌△ACE(SAS)，

∴∠DBC=∠EAC，

∵∠ABC+∠DBC=180°，

∴∠ABC+∠EAC=180°，

∵∠ABC=60°，

∴∠EAC=120°=2∠ABC.

故答案為：∠ABC+∠EAC=180°或∠EAC=2∠ABC.