Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx經過點A（﹣1，）及原點，交x軸于另一點C（2，0），點D（0，m）是y軸正半軸上一動點，直線AD交拋物線于另一點B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，連接AO、BO，若△OAB的面積為5，求m的值；

（3）如圖2，作BE⊥x軸于E，連接AC、DE，當D點運動變化時，AC、DE的位置關系是否變化？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x；(2)2;(3) AC和DE的位置關系不變．

【解析】分析：（1）由A、C的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）可設直線AD解析式為y＝kx＋m，把A點坐標代入可求得k與m的關系，聯立直線AD與拋物線解析式，則可用m表示出B點橫坐標，從而可用m表示出△AOB的面積，結合△AOB的面積為5可得到關于m的方程，可求得m的值；

（3）由A、C坐標可求得直線AC的解析式，用m可表示出D、E的坐標，則可表示出直線DE的解析式，則可證得結論．

詳解：

（1）∵拋物線y=ax2+bx經過點A（﹣1，）和點C（2，0），

∴，解得，

∴拋物線解析式為y=x2﹣x；

（2）∵D（0，m），

∴可設直線AD解析式為y=kx+m，

把A點坐標代入可得=﹣k+m，即k=m﹣，

∴直線AD解析式為y=（m﹣）x+m，

聯立直線AD與拋物線解析式可得，

消去y，整理可得x2+（﹣m）x﹣m=0，解得x=﹣1或x=2m，

∴B點橫坐標為2m，

∵S△AOB=5，

∴OD[2m﹣（﹣1）]=5，即m（2m+1）=5，解得m=﹣或m=2，

∵點D（0，m）是y軸正半軸上一動點，

∴m=2；

（3）AC和DE的位置關系不變，證明如下：

設直線AC解析式為y=k′x+b′，

∵A（﹣1，）、C（2，0），′

∴，解得，

∴直線AC解析式為y=﹣x+1，

由（2）可知E（2m，0），且D（0，m），

∴可設直線DE解析式為y=sx+m，

∴0=2ms+m，解得s=﹣，

∴直線DE解析式為y=﹣x+m，

∴AC∥DE，即AC和DE的位置關系不變．