Question

我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形．如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）如果我們對四邊形ABCD的對角線AC與BD添加一定的條件，則可使四邊形EFGH成為特殊的平行四邊形，請你經過探究后直接填寫答案：
①當AC=BD時，四邊形EFGH為

 

；
②當AC

 

BD時，四邊形EFGH為矩形；
③當AC=BD且AC⊥BD時，四邊形EFGH為

 

．

Answer 1

分析：先根據中位線定理證明：順次連接四邊形各邊中點所得四邊形是平行四邊形；順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得四邊形是矩形；順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得四邊形是菱形；順次連接對角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點所得四邊形是正方形．

解答：解：（1）連接AC、BD，
因為H、G，分別為AD、DC的中點，
所以HG∥AC，
同理EF∥AC，
所以HG∥EF；
同理可知HE∥GF．
于是四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）由于對角線相等，
因為H，G，分別為AD、DC的中點，
所以HG=

1

2

AC，
同理EF=

1

2

AC，
所以HG=EF；
同理可知HE=

1

2

BD，
GF=

1

2

BD．
又因為AC=BD
所以HE=EF=FG=GH．
又因為是四邊形EFGH是平行四邊形．
所以四邊形EFGH為菱形．

（3）由于四邊形EFGH是平行四邊形．
當AC⊥BD時，
HE⊥EF，
故四邊形EFGH為矩形；

（4）由于四邊形EFGH是平行四邊形．
當AC⊥BD時，
HE⊥EF，
故四邊形EFGH為矩形；
AC=BD時，
四邊形EFGH為正方形．

點評：根據三角形的中位線定理證明：順次連接四邊形各邊中點所得四邊形是平行四邊形；順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得四邊形是矩形；順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得四邊形是菱形．