Question

【題目】在平面直角坐標系中，邊長為 的正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點E，頂點B，A在x，y軸正半軸上運動（x軸的正半軸，y軸的正半軸都不包含原點O）頂點C、D都在第一象限．

（1）如圖1，當∠ABO=45°時，求直線OE的解析式，并說明OE平分∠AOB；
（2）當∠ABO≠45°時（如圖2所示）：OE是否還平分∠AOB仍然成立？若是，請證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵邊長為 的正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點E，

∴AE⊥BE，AE=BE，AB= ，∠ABE=45°，

∴由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，即2AE2= ，

∴AE=BE=1．

∵∠ABO=45°，

∴∠OBE=∠AEB=∠AOB=90°，

∴四邊形AOBE是正方形，

∴OE平分∠AOB，點E的坐標是（1，1）．

設直線OE的解析式為：y=kx（k≠0），

則有1=k×1，即k=1，

∴直線OE的解析式為y=x

（2）

解：OE平分∠AOB仍然成立．

證明：過點E做EF、EG分別垂直于y軸和x軸，垂足分別是點F和點G，則四邊形EFOG是矩形，如圖所示．

∴∠FEG=90°，

∴∠FEA+∠AEG=90°．

又∵∠AEG+∠GEB=90°，

∴∠FEA=∠GEB．

在△FEA和△GEB中， ，

∴△FEA≌△GEB（AAS），

∴FE=GE，

∴矩形EFOG是正方形，

∴OE平分∠AOB．

【解析】（1）根據正方形的性質結合AB= ，∠ABO=45°，可得出點E的坐標以及四邊形AOBE是正方形，從而可得出OE平分∠AOB，再由點E的坐標利用待定系數法即可求出直線OE的解析式；（2）過點E做EF、EG分別垂直于y軸和x軸，垂足分別是點F和點G，則四邊形EFOG是矩形，根據邊角關系可證出△FEA≌△GEB，進而得出FE=GE，由此即可得出矩形EFOG是正方形，再根據正方形的性質即可得出OE平分∠AOB．