Question

【題目】在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一點，BE＝CD，EF∥AD交AB于F點，交CA的延長線于P，CH∥AB交AD的延長線于點H，

①求證：△APF是等腰三角形；

②猜想AB與PC的大小有什么關系？證明你的猜想．

Answer 1

【答案】①證明見解析；②AB＝PC．

【解析】

①根據題意作出圖形，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠1＝∠4，同位角相等可得∠2＝∠P，再根據角平分線的定義可得∠1＝∠2，然后求出∠4＝∠P，根據等角對等邊的性質即可得證；

②根據兩直線平行，內錯角相等可得∠5＝∠B，再求出∠H＝∠1＝∠3，然后利用“AAS”證明△BEF和△CDH全等，根據全等三角形對應邊相等可得BF＝CH，再求出AC＝CH，再根據AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，整理即可得解．

①證明：∵EF∥AD，

∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1＝∠2，

∴∠4＝∠P，

∴AF＝AP，

即△APF是等腰三角形；

②AB＝PC．理由如下：

證明：∵CH∥AB，

∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，

∵EF∥AD，

∴∠1＝∠3，

∴∠H＝∠3，

在△BEF和△CDH中，

∵，

∴△BEF≌△CDH（AAS），

∴BF＝CH，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1＝∠2，

∴∠2＝∠H，

∴AC＝CH，

∴AC＝BF，

∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，

∴AB＝PC．