Question

【題目】已知：A（0，3），B（3，0），C（3，4）三點，點P（x，﹣0.5x），當△ABP的面積等于△ABC的面積時，則P點的坐標是_____．

Answer 1

【答案】（﹣2，1）或（14，﹣7）．

【解析】

先計算△ABC的面積，根據x的正、負分兩種情況進行討論：
第一種情況：當x＜0時，如圖2，根據S△ABP=S梯形AEFB-S△AEP-S△BFP，列方程可得結論；
第二種情況：當x＞0時，如圖3，同理可得結論．
也可以作AB的平行線（兩條），根據AB的解析式：y=-x+3，根據面積可求得平行線與y軸的交點，可得平行線的解析式為：y=-x-1和y=-x+7，最后利用P點的坐標解決問題．

解：如圖1，

∵A（0，3），B（3，0），C（3，4），

∴BC＝4，A到BC的距離為3，

∴△ABC的面積為 ＝6，

分為兩種情況：第一種情況：當x＜0時，如圖2，

過P作PF⊥x軸于F，過A作AE⊥PF于E，

∵A（0，3），B（3，0），P（x，﹣0.5x），

∴AE＝﹣x，EF＝3，BF＝3﹣x，PF＝﹣0.5x，PE＝3﹣（﹣0.5x）＝3+0.5x，

∴S△ABP＝S梯形AEFB﹣S△AEP﹣S△BFP

＝（﹣x+3﹣x）3﹣（﹣x）（3+0.5x）﹣（3﹣x）（﹣0.5x）

＝﹣x+,

∵△ABP的面積等于△ABC的面積，△ABC的面積為6，

∴﹣x+＝6，

解得：x＝﹣2，

﹣0.5x＝1，

所以此時P點的坐標為（﹣2，1）；

第二種情況：當x＞0時，如圖3，

作矩形AEPF（E在y軸上），

S△ABP＝S矩形AEPF﹣S△AFP﹣S梯形OEPB﹣S△AOB＝（3+0.5x）x﹣x（3+0.5x）﹣（3+x）0.5x﹣＝6,

解得：x＝14，

所以此時P點的坐標為（14，﹣7）；

綜上所述，則P點的坐標是（﹣2，1）或（14，﹣7）．

故答案為：（﹣2，1）或（14，﹣7）．