Question

如圖①，在平面直角坐標系中，已知△ABC是等邊三角形，點B的坐標為（12，0），動點P在線段AB上從點A向點B以每秒

3

個單位的速度運動，設運動時間為t秒．以點P為頂點，作等邊△PMN，點M，N在x軸上．
（1）當t為何值時，點M與點O重合；
（2）求點P坐標和等邊△PMN的邊長（用t的代數式表示）；
（3）如果取OB的中點D，以OD為邊在△AOB內部作如圖②所示的矩形ODEF，點E在線段AB上．設等邊△PMN和矩形ODEF重疊部分的面積為S，請求出當0≤t≤2秒時S與t的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）當M，O重合時，△PON是等邊三角形，因此∠AMP=30°，OA=2AP，可根據OB的長和∠OAB的度數求出OA的長，即可求出AP的長，然后根據P點的速度即可求出t的值．
（2）可通過構建直角三角形求解．過P分別作PQ⊥OA于點Q，PS⊥OB于點S．可在直角三角形APQ中，用AP的長和∠OQP的度數求出AQ的長，也就求出了OQ和PS的長，然后在直角三角形PSM中，可根據PS的長和∠PMN的度數求出等邊三角形PMN的邊長．
（3）本題要分兩種情況進行討論：
①當F點在PM右側時，即當0≤t≤1時，重合部分是個直角梯形．
②當PM和PN都與線段EF相交時，即當1＜t≤2時，重合部分是個五邊形，設PM，PN與EF的交點分別為I，G，那么重合部分的面積可用梯形FGNO的面積-三角形FQI的面積來求得．
可根據上述兩種情況求出S，t的函數關系式．根據函數的性質和自變量的取值范圍即可求得S的最大值及對應的t的值．

解答：解：（1）點M與點O重合．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABO=30°，∠BAO=60°．
由OB=12，
∴AB=8

3

，AO=4

3

．
∵△PON是等邊三角形，
∴∠PON=60度．
∴∠AOP=30度．
∴AO=2AP，即4

3

=2

3

t，
解得t=2．
∴當t=2時，點M與點O重合．

（2）如圖①，過P分別作PQ⊥OA于點Q，PS⊥OB于點S，
可求得AQ=

1

2

AP=

3 t

2

，PS=QO=OA-AQ=4

3

-

3 t

2

．
QP=AQcos30°=

3

×

3

2

t=

3

2

t．
∴點P坐標為（

3

2

t，4

3

-

3 t

2

）．
在Rt△PMS中，sin60°=

PS

PM

，
∴PM=（4

3

-

3 t

2

）÷

3

2

=8-t．

（3）（Ⅰ）當0≤t≤1時，見圖②．
設PN交EF于點G，
∵PM過F點時，OD⊥ED，ED∥FO而D為OB的中點，
∴E是AB的中點，
∵EF∥OD，
∴F也是AO的中點，
∴△FMO≌△AFP，
∴∠FMO=∠PAF=60°，
則重疊部分為直角梯形FONG，
作GH⊥OB于點H．
∵∠GNH=60°，GH=2

3

，
∴HN=2．
∵MP=8-t，
∴BM=2MP=16-2t．
∴OM=BM-OB=16-2t-12=4-2t．
∴ON=MN-OM=8-t-（4-2t）=4+t．
∴FG=OH=ON-HN=4+t-2=2+t．
∴S=

1

2

（2+t+4+t）×2

3

=2

3

t+6

3

．
∵S隨t的增大而增大，
∴當t=1時，S_最大=8

3

．
（Ⅱ）當1＜t≤2時，見圖③．
設PM交EF于點I，交FO于點Q，PN交EF于點G．
重疊部分為五邊形OQIGN．
OQ=4

3

-2

3

t，FQ=2

3

-（4

3

-2

3

t）=2

3

t-2

3

，FI=

3

3

FQ=2t-2．
∴三角形QFI的面積=

1

2

（2

3

t-2

3

）（2t-2）=2

3

（t²-2t+1）．
由（Ⅰ）可知梯形OFGN的面積=2

3

t+6

3

，
∴S=2

3

t+6

3

-2

3

（t²-2t+1）=-2

3

（t²-3t-2）．
∵-2

3

＜0，
∴當t=

3

2

時，S有最大值，S_最大=

17 3

2

．
綜上所述：當0≤t≤1時，S=2

3

t+6

3

；當1＜t≤2時，S=-2

3

t²+6

3

t+4

3

；
∵

17 3

2

＞8

3

，
∴S的最大值是

17 3

2

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質、直角三角形的性質、圖形的面積求法、二次函數的應用等知識點，及綜合應用知識、解決問題的能力．