Question

【題目】在Rt△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，動點P以3cm/s從點B出發向終點C運動；動點Q以1cm/s從點C出發向終點B運動，動點P，Q同時出發，以PQ為直徑在BC上方作半圓O，設運動時間為t(s).

（1）當t=1時，半圓O的半徑R=_______；

（2）當半圓O落在△ABC的內部（包括邊界）時，求t的取值范圍；

（3）當點P在Q的左邊時，過點P作PE//AB交半圓于點E.，求tan∠EAC的值.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）.

【解析】

（1）根據題意求出BP、QC的長即可.（2）分類討論：①當點P在點Q的左側且半圓O與邊AC相切時，可證明△ODC∽△BAC，可知，根據BP=3t，CQ=t，代入求出t的值即可.；②當點P在點Q的右側，且半圓O與邊AC相切時，同理可證△ODC∽△BAC，PQ=4t-10，可求出CP=10-3t，CO=5-t根據相似三角形各邊的比例關系求出t即可.結合兩點求出t的取值范圍即可.（3）由PE//AB可知△PFC∽△BAC，∠AFP=∠AFC=90°，得 ，可求出PF、CF的值，進而求出AF的長，連接EQ，同理可求長PE的長，進而求出EF的長，根據正切定義求出tan∠EAC的值即可.

（1）∵t=1，

∴BP=3，QC=1，

∴PQ=6，R=3.

（2）①當點P在點Q的左側且半圓O與邊AC相切時，

記切點為D，即OD⊥AC

∵∠BAC=Rt∠

∴OD//AB

∴△ODC∽△BAC

∴

∵BP=3t，CQ=t ∴PQ=10-4t即OD=PO=OQ=5-2t

∴CO=5-t

∴ ∴

②當點P在點Q的右側，且半圓O與邊AC相切時，

同理得，△ODC∽△BAC，

∴

∵BP=3t，CQ=t ∴PQ=4t-10即OD=PO=OQ=2t-5

∵CP=10-3t

∴CO=5-t

∴ ∴

∴

（3）如圖所示，PE//AB交AC于點F，連接AE

∴△PFC∽△BAC，∠BAC=∠AFC=90°

∴

∵CP=10-3t

∴

∴，

∴

連接EQ，得∠PEQ=∠PFC=90°

∴EQ//AC

∴△PEQ∽△PFC

同理得

∴

∴